问题情境:小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题:
解方程组: .
观察发现:(1)如果用代入消元法或加减消元法求解,运算量比较大,容易出错.如果把方程组中的看成一个整体,把看成一个整体,通过换元,可以解决问题.
设 , , 则原方程组可化为__________,解关于m,n的方程组,得 ,
所以 , 解方程组,得__________.
探索猜想:(2)运用上述方法解下列方程组: .
拓展延伸:(3)已知关于x,y的二元一次方程组的解为 , 求关于x,y的方程组的解.
(1)当时,求的值;
(2)若方程组的解与满足条件 , 求的值.
已知关于x,y的二元一次方程组,的解满足 , 求m的值.
时,可由①得③,然后再将③代入②,得 , 解得 , 从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”.
有些关于方程组的问题,欲求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的代数式的值,如以下问题:
已知实数x、y满足①,②,求和的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组,解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案,常规思路运算量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值,如由可得 , 由①+②×2可得 . 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
解决问题: