如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点．（1）求直线的解析式；（2）过点作交抛物线于，连接，，，，记四边形的面积为，的面积为，当的值最大时，求点的坐标和的最大值；（3）如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点，为平移后的抛物线的对称轴直线上一动点，将线段沿直线平移，平移后的线段记为（线段始终在直线左侧），是否存在以，，为顶点的等腰直角？若存在，请写出满足要求的所有点的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由．

1. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一动点．

（1）求直线 $\text{[math]}$ 的解析式；

（2）过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交抛物线于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的值最大时，求 $\text{[math]}$ 点的坐标和 $\text{[math]}$ 的最大值；

（3）如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为平移后的抛物线的对称轴直线 $\text{[math]}$ 上一动点，将线段 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 平移，平移后的线段记为 $\text{[math]}$ （线段 $\text{[math]}$ 始终在直线 $\text{[math]}$ 左侧），是否存在以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的等腰直角 $\text{[math]}$ ？若存在，请写出满足要求的所有点 $\text{[math]}$ 的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由．

【考点】

二次函数的实际应用-几何问题;

【答案】

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解答题困难

1. 定义：如图 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上（点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 两点不重合），如果 $\text{[math]}$ 的三边满足 $\text{[math]}$ ，则称点 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 的勾股点。

( $\text{[math]}$ )直接写出抛物线 $\text{[math]}$ 的勾股点的坐标；

( $\text{[math]}$ )如图 $\text{[math]}$ ，已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 的勾股点，求抛物线 $\text{[math]}$ 的函数表达式；

( $\text{[math]}$ )在( $\text{[math]}$ )的条件下，点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，求满足条件 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ （异于点 $\text{[math]}$ ）的坐标.

解答题容易

2. 在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用 $\text{[math]}$ 长的篱笆围成一个矩形花园 $\text{[math]}$ ，求矩形花园 $\text{[math]}$ 的最大面积．

综合题容易

3. 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的图象交于A、B两点，与x轴交于点 $\text{[math]}$ .

（1）求二次函数的表达式；

（2）在直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线上有一动点P，过点P作 $\text{[math]}$ 于点Q，当P运动到何处时，线段 $\text{[math]}$ 的长有最大值，并求出这个最大值.

解答题容易