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1. 不计容器壁厚度的有盖立方体容器的边长是1,向其中放入两个小球,则这两个小 球的体积之和的最大值是
.
【考点】
球内接多面体;
【答案】
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填空题
普通
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1. 已知圆台的上底面半径是
, 下底面半径是1,母线长为
, 则该圆台内半径最大的球的半径是
.
填空题
容易
1. 如图,是南京博物馆展示的一件名为“陶三棱锥”的文物,该文物的出土,为研究吴越文化提供了重要价值,博物馆准备为该文物制作一个透明的球形玻璃外罩进行保护供游客观赏研究,经测量该文物的所有棱长都为
分米,则制作的球形玻璃外罩(玻璃外罩厚度忽略不计)的直径至少为
分米.
填空题
普通
2. 已知菱形
中,对角线
交于点
,
, 将
沿着
折叠,使得
,
, 则三棱锥
的外接球的表面积为
.
填空题
普通
3. 正四面体ABCD的棱长为a,E为棱BC的中点,过E作其外接球的截面,若截面面积最小值为
, 则
.
填空题
普通
1. 如图,在四面体
中,
平面
, 则此四面体的外接球表面积为( )
A.
B.
C.
D.
单选题
普通
2. 如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体,这是一个有八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,若该多面体的棱长为
, 则该多面体外接球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
单选题
普通
3. 设球
O
的直径为
, 球面上三个点
A
,
B
,
C
确定的圆的圆心为
,
,
, 则
面积的最大值为( )
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
单选题
普通
1. 球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用.球面距离的定义:球面上两点之间的最短连线的长度,即经过这两点的大圆(经过球心的平面截球面所得的圆)在这两点间的一段劣弧的长度.这个弧长就被称作两点的球面距离.
(1)
在正四棱柱
(底面为正方形的直棱柱)中,
,
, 求顶点
,
在该正四棱柱外接球上的球面距离.
(2)
如图1,在直角梯形
中,
,
,
,
. 现将
沿边
折起到
, 如图2,使得点
在底面
的射影
在
上.
①求点
到底面
的距离;
②设棱锥
的外接球为球
, 求
,
两点在球
上的球面距离.
参考数据:
,
.
解答题
普通
2. 三维空间中,如果平面与球有且仅有一个公共点,则称这个平面是这个球的切平面.已知在空间直角坐标系
中,球
的半径为
, 记平面
、平面
、平面
分别为
、
、
.
(1)
若棱长为
的正方体、棱长为
的正四面体的内切球均为球
, 求
的值;
(2)
如果在球面上任意一点作切平面
, 记
与
、
、
的交线分别为
、
、
, 求
到
、
、
距离的乘积的最小值(结果用
表示).
解答题
困难
3. 据报道,2024年4月15日,正值全民国家安全教育日,田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功(如图(1)),标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成,有力推动了我国产业结构和能源结构的调整,助力“双碳”目标顺利实现.报道中提到的球冠是一个空间几何概念,它是指球面被一个平面所截得的一部分(不包含截面),垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高.球冠面积等于截得它的球面上大圆(过球心的截面圆)周长与球冠的高的乘积.和球冠相对应的几何体叫球缺,它是指球体被一个平面所截得的一部分,截面是球缺的底.当球缺的高小于球半径时,我们把球缺与以球缺的底为底、以球心为顶点的圆锥所构成的体,称作“球锥”(如图(2))当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时,称这个四面体内接此“球锥”.如图(2),设一个“球锥”所在球的半径为
, 其中球冠高为
.
(1)
类比球体积公式的推导过程(可参考图(3)),写出“球锥”的体积公式;
(2)
在该“球锥”中,当球缺的体积与圆锥的体积相等时,求
的值;
(3)
已知一个棱长为
的正四面体内接此“球锥”,并且有一个顶点与球心重合,若满足条件的
有且只有一个,求
的取值范围.
解答题
普通
1. 已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为( )
A.
B.
C.
D.
单选题
普通
2. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,∆ABC是边长为2的正三角形,E、F,分别是PA,AB的中点,
CEF=90°,则球O的体积为( )
A.
B.
C.
D.
单选题
困难
3. 已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径,若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S﹣ABC的体积为9,则球O的表面积为
.
填空题
普通