球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：球面上两点之间的最短连线的长度，即经过这两点的大圆（经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度．这个弧长就被称作两点的球面距离．

1. 球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：球面上两点之间的最短连线的长度，即经过这两点的大圆（经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度．这个弧长就被称作两点的球面距离．

(1) 在正四棱柱 $\text{[math]}$ （底面为正方形的直棱柱）中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在该正四棱柱外接球上的球面距离．

(2) 如图1，在直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．现将 $\text{[math]}$ 沿边 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ ，如图2，使得点 $\text{[math]}$ 在底面 $\text{[math]}$ 的射影 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上．

①求点 $\text{[math]}$ 到底面 $\text{[math]}$ 的距离；

②设棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球为球 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点在球 $\text{[math]}$ 上的球面距离．

参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

【考点】

球面距离及相关计算; 球内接多面体;

【答案】

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解答题普通

1. 在棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体 $\text{[math]}$ 中，求

(1) 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角；

(2) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的距离；

(3) 求三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积；

解答题普通

2. 三维空间中，如果平面与球有且仅有一个公共点，则称这个平面是这个球的切平面.已知在空间直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，球 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，记平面 $\text{[math]}$ 、平面 $\text{[math]}$ 、平面 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

(1) 若棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体、棱长为 $\text{[math]}$ 的正四面体的内切球均为球 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 如果在球面上任意一点作切平面 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的交线分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 距离的乘积的最小值（结果用 $\text{[math]}$ 表示）.

解答题困难

3. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形（正四面体的截面）的面积．

解答题普通