棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形（正四面体的截面）的面积．

1. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形（正四面体的截面）的面积．

【考点】

球内接多面体;

【答案】

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解答题普通

1. 三维空间中，如果平面与球有且仅有一个公共点，则称这个平面是这个球的切平面.已知在空间直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，球 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，记平面 $\text{[math]}$ 、平面 $\text{[math]}$ 、平面 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

(1) 若棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体、棱长为 $\text{[math]}$ 的正四面体的内切球均为球 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 如果在球面上任意一点作切平面 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的交线分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 距离的乘积的最小值（结果用 $\text{[math]}$ 表示）.

解答题困难

2. 正四面体棱长为a，求其内切球与外接球的表面积．

解答题普通

3. 已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正方体的对角面作截面]．

解答题普通