如图 9-12，平面直角坐标系中，点位于第一象限，点位于第四象限，四边形是边长为 1 的正方形，与轴正半轴的夹角为，则点的纵坐标为

1. 如图，正方形纸片 $\text{[math]}$ 的边长为4，点E在 $\text{[math]}$ 边上，点F在 $\text{[math]}$ 边上．将正方形纸片 $\text{[math]}$ 沿EF对折，点B的对应点是点G，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 长的最小值是．

填空题困难

2. 七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具.某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板（见图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部分的面积为dm².

填空题普通

3. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ 的边长分别为 3 和 1 ，点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为

填空题普通

1. 如图，正方形纸片 $\text{[math]}$ 的边长为4，点E在 $\text{[math]}$ 边上，点F在 $\text{[math]}$ 边上．将正方形纸片 $\text{[math]}$ 沿EF对折，点B的对应点是点G，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 长的最小值是．

填空题困难

2. 七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具.某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板（见图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部分的面积为dm².

填空题普通

3. 如图，字母 $\text{[math]}$ 所代表的正方形的面积是( )

A. 194 B. 144 C. 13 D. 12

单选题容易

1. 如图1，由四个全等的直角三角形的直角边拼接成一个正方形ABCD，我们称这样的图形为“弦图”，“弦图”是中国古代数学的瑰宝．在如图2的“弦图”中，连结AC，EG交于点O，设AC与EH，FG的交点分别为M，N．吴老师和学生们对此“弦图”进行研究性学习时，有如下交流：吴老师：利用弦图中的三角形全等关系可证明“四边形EFGH是正方形，O是AC和EG的中点．”；

小聪：这两个结论都能证明，我还发现“△AOE∽△EOM”；

小颖：我发现“已知AE，BE的长度，就能确定MN的长度”，如：“已知AE＝3，BE＝1，求MN的长．”结合上述师生的交流：

(1) 请你证明小聪发现的结论；

(2) 请你解答小颖提出的问题“已知AE＝3，BE＝1，求MN的长．”

实践探究题困难

2. 如图1，在正方形ABCD中，点E是BC上一动点，将正方形沿着AE折叠，使点B落在F处，连接BF、AF，延长BF交CD 于点 G.

(1) 【初步探究】在 E的运动过程中，△ABE与△BCG始终保持全等的关系，请说明理由.

(2) 【深入探究】把图1中的AF 延长交CD于点H，如图2，若 $\text{[math]}$ 求线段CE的长.

(3) 【拓展延伸】如图3，将正方形改成矩形，同样沿AE折叠，连接BF，延长BF、AF交直线CD与点 G、H两点，若 $\text{[math]}$ 直接写出 $\text{[math]}$ 的值(用含m 的代数式表示).

实践探究题困难

3. 综合与实践

在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．

【操作探究】

“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：

第 $\text{[math]}$ 步：如图 $\text{[math]}$ 所示，先将正方形纸片 $\text{[math]}$ 对折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，然后展开铺平，折痕为 $\text{[math]}$ ；

第 $\text{[math]}$ 步：将 $\text{[math]}$ 边沿 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 的位置；

第 $\text{[math]}$ 步：延长 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 边的三等分点．

证明过程如下：连接 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 正方形 $\text{[math]}$ 折叠，

$\text{[math]}$ ▲ ，

又 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ．

由题意可知 $\text{[math]}$ 的中点，设 $\text{[math]}$ 个单位 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，

在 $\text{[math]}$ 中，可列方程： $\text{[math]}$ ▲ ， $\text{[math]}$ 方程不要求化简 $\text{[math]}$

解得： $\text{[math]}$ ▲ ，即 $\text{[math]}$ 边的三等分点．

“破浪”小组是这样操作的：

第 $\text{[math]}$ 步：如图 $\text{[math]}$ 所示，先将正方形纸片对折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，然后展开铺平，折痕为 $\text{[math]}$ ；

第 $\text{[math]}$ 步：再将正方形纸片对折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，再展开铺平，折痕为 $\text{[math]}$ ，沿 $\text{[math]}$ 翻折得折痕 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；

第 $\text{[math]}$ 步：过点 $\text{[math]}$ 折叠正方形纸片 $\text{[math]}$ ，使折痕 $\text{[math]}$ ．

【过程思考】

(1) “乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是

$\text{[math]}$ ：， $\text{[math]}$ ：， $\text{[math]}$ ：；

(2) 结合“破浪”小组操作过程，判断点 $\text{[math]}$ 是否为 $\text{[math]}$ 边的三等分点，并证明你的结论；

(3) 【拓展提升】

如图 $\text{[math]}$ ，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 上的一个三等分点，记点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 与菱形 $\text{[math]}$ 的边交于点 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．