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1. 表面积为16
π
的球的内接轴截面为正方形的圆柱的体积为
.
【考点】
组合几何体的面积、表面积、体积问题; 球的表面积与体积公式及应用;
【答案】
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填空题
容易
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1. 棱长为2的正方体的外接球的表面积为
.
填空题
容易
2. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同,则积不容异”,即夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截, 如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件,若该圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,则该几何体的体积为
.
填空题
容易
3. 半径为1的球的体积为
.
填空题
容易
1. 鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根等长的正四棱柱体分成三组,经
榫卯起来.若正四棱柱的高为
, 底面正方形的边长为
, 现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积至少为
.(容器壁的厚度忽略不计,结果保留
)
填空题
普通
2. 如图,在三棱锥
中,
, 二面角
的余弦值为
, 若三棱锥
的体积为
, 则三棱锥
外接球的表面积为
.
填空题
困难
3. 若正方体
的棱长为3,
P
是正方体
表面上一动点.设
是以
P
为球心,半径为1的动球在运动过程中经过区域的全体,则
的体积为
.
填空题
困难
1. 在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了
之后,表面积增加了( )
A.
54
B.
C.
D.
单选题
普通
2. 设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为
,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
单选题
普通
3. 所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体,其中平行的两个面叫底面,其它面叫侧面,两底面之间的距离叫高,经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面.似柱体的体积公式为
, 这里
、
为两个底面面积,
为中截面面积,
为高.如图,已知多面体
中,
是边长
为的正方形,且
,
均为正三角形,
,
, 则该多面体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
单选题
普通
1. 如图,在两块钢板上打孔,用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉(图1)穿在一起,在没有帽的一端锤打出一个帽,使得与钉帽的大小相等,铆合的两块钢板,成为某种钢结构的配件,其截面图如图2.(单位:mm).(加工中不计损失).
(1)
若钉身长度是钉帽高度的3倍,求铆钉的表面积;
(2)
若每块钢板的厚度为
mm,求钉身的长度(结果精确到
mm).
解答题
普通
2. 祖暅在求球体积时,使用一个原理:“幂势既同,则积不容异”。“幂”是截面积,“势”是立体的高。意思是两个同高的立体,如在等高处的截面积恒相等,则体积相等。更详细点说就是,界于两个平行平面之间的两个立体,被任一平行于这两个平面的平面所截,如果两个截面的面积恒相等,则这两个立体的体积相等。上述原理在中国被称为祖暅原理。
如图是一个半径为
的球体,平面
与球相交,截面为圆
, 延长
, 交球于点
, 则
垂直于圆
(
垂直于圆
内的所有直线).
(1)
若圆锥
DB
的侧面展开图扇形的圆心角为
, 求圆锥
DB
的表面积和体积;
(2)
如图平面
上方与球体之间的部分叫球冠,若
, 请你利用祖暅原理求球冠的体积.
解答题
普通
3. 某长方体从一个顶点出发的三条棱的长分别为3cm,3cm,
.
(1)
求该长方体的外接球的体积和表面积;
(2)
如图,将此长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥,求剩下的几何体的体积.
解答题
普通