问题原型：如图①，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别为边AB、AD中点，且∠EOF=90°，易得四边形AEOF的面积是正方形ABCD的面积的四分之一．（不用证明）探究发现：某数学兴趣小组，尝试改变点E、F的位置，点E、F分别为边AB、AD上任一点，且∠EOF=90°，如图②，探究：四边形AEOF的面积是否为正方形ABCD面积的四分之一？并说明理由．拓展提升：如图③，菱形ABCD中，∠BAD=120°，∠EAF=60°，且点E、F分别在边DC、BC上，四边形AECF的面积是菱形ABCD面积的几分之一？（直接写出结果即可）

×年×月×日星期日

没有量角器或圆规也能作出角平分线

今天，我在一本数学杂志上看到下面材料：

杜师傅有一块木板，他已经在木板上画了 $\text{[math]}$ .如图 $\text{[math]}$ ，根据木板的情况，需要画出 $\text{[math]}$ 的平分线，用锯子进行裁割，然而手头没有量角器（或圆规），仅有两个全等的直角三角板，怎么办？方法如下：用两个全等的直角三角板按照如图 $\text{[math]}$ 所示的方式放置在 $\text{[math]}$ 的两边上，其中直角三角板的短直角边分别在 $\text{[math]}$ 的两边上，利用刻度尺可使 $\text{[math]}$ ，两个直角三角板的长直角边交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的平分线.

任务：

(1) 根据方法中的操作过程，求证： $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的平分线.

(2) 现因缺少工具原因，只有直角尺可以用（直角尺两个方向均有刻度），请你根据图2的思想，写出图 $\text{[math]}$ 画 $\text{[math]}$ 平分线 $\text{[math]}$ 的步骤，并说明理由.

综合题普通

2.

如图，边长为 $\text{[math]}$ 正方形OABC的边OA、OC在坐标轴上.在 $\text{[math]}$ 轴上线段 $\text{[math]}$ （Q在A的右边），P从A出发，以每秒1个单位的速度向O运动，当点P到达点O时停止运动，运动时间为 $\text{[math]}$ .连接PB，过P作PB的垂线，过Q作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，两垂线相交于点D.连接BD交 $\text{[math]}$ 轴于点E，连接PD交 $\text{[math]}$ 轴于点F，连接PE.