如图

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1. 如图

(1) 问题背景：如图 1，在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .

(2) 类比探究：如图 2，在 Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为边 B C上任意一点（不是 B C 中点），求证： $\text{[math]}$ .

(3) 拓展应用：如图 3，在四边形 A B C D 中， $\text{[math]}$ ，求 B D 的长.

【考点】

全等三角形的应用; 勾股定理的应用; 手拉手全等模型;

【答案】

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实践探究题困难

1. 勾股定理是证明方法最多的定理之一，小明便以此建立项目，加以探究.

【问题提出】小明在做作业本时发现利用右图可以证明勾股定理.思路为利用面积法，将梯形的面积用不同的方式表示列出等式.由此猜想如果将Rt△DAF向左平移，能否证明勾股定理？

【方案设计】考虑到探究的难度，他首先设计了两种特殊的位置，开展研究：

方案	方案一	方案二
图形
备注	Rt△BCA≌Rt△EAD	Rt△BCA≌Rt△CFD
备注	BC=a ， AC=b ， AB=c

【探究验证】首先验证方案一为方案二提供经验基础.

方式

验证过程

（分别用含有a ， b ， c的代数式完成填空）

图形

方式①

S_四边形_ADBE=S_△_ABE +S_△_ABD

S_△_ABE = ▲ ．（以AE为底，高为BC）

S_△_ABD = ▲ ．（以AD为底，则AD边上的高与AC等长）

连结BE ， BD，不难得出AB⊥ED

方式②

S_四边形_ADBE =S_△_EBD +S_△_EAD

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ▲

综上所述利用方式①，②列出等式即可证明勾股定理.

【方法应用】

根据上述经验，请你继续完成方案二后续的证明过程.

提示：如图，连结BD ， AD ，不难得出CD⊥BA ，利用两种方法表示四边形BCAD的面积.

实践探究题困难

2. 下表是小聪同学开展项目化学习时填写了部分内容的记录表，

项目：测量小山坡的宽度.

活动：小山坡的宽度不能直接测量，可以借助一些工具，比如：皮尺，直角三角板，测角仪

标杆等，各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，再进行实地测量，得到具体数据，从而计算出小山坡的宽度.

成果：下面是小聪同学所在小组进行交流展示的部分项目研究内容：

项目

示意图

测量方案

测得数据

测量小山坡

的宽度AB

在小山坡外面的平地上找一点O，立一根标杆，然后再找到点C，D，使OC=OA.

OD =OB

OA=OC=200 m，OB=OD=250 m，CD =360 m

请你帮助小聪组完成下列任务.

(1) 任务1：王老师发现小聪组的测量方案有问题，请你帮助小聪组找到问题并完善测量方案.

(2) 任务2：完善方案后请你借助上述测量数据，计算小山坡的宽度AB，并说明理由

(3) 任务3：利用所学知识，请你再设计一个测量方案，并简要说明你的设计思路.

实践探究题普通

八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度 $\text{[math]}$ 的实践活动，测量方案如下表：

课题	测量学校教学楼高度 $\text{[math]}$
测量工具	测角仪、皮尺等
测量方案示意图
测量步骤	$\text{[math]}$ 在教学楼外，选定一点 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 测量教学楼顶点 $\text{[math]}$ 视线 $\text{[math]}$ 与地面夹角 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 测 $\text{[math]}$ 的长度； $\text{[math]}$ 放置一根与 $\text{[math]}$ 长度相同的标杆 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 垂直于地面； $\text{[math]}$ 测量标杆顶部 $\text{[math]}$ 视线与地面夹角 $\text{[math]}$ ．
测量数据	$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题普通