如图,边长为 正方形OABC的边OA、OC在坐标轴上.在 轴上线段 (Q在A的右边),P从A出发,以每秒1个单位的速度向O运动,当点P到达点O时停止运动,运动时间为 .连接PB,过P作PB的垂线,过Q作 轴的垂线,两垂线相交于点D.连接BD交 轴于点E,连接PD交 轴于点F,连接PE.
令 ,当△PBE为等腰三角形时,求△EFD的面积.
×年×月×日星期日
没有量角器或圆规也能作出角平分线
今天,我在一本数学杂志上看到下面材料:
杜师傅有一块木板,他已经在木板上画了.如图 , 根据木板的情况,需要画出的平分线,用锯子进行裁割,然而手头没有量角器(或圆规),仅有两个全等的直角三角板,怎么办?方法如下:用两个全等的直角三角板按照如图所示的方式放置在的两边上,其中直角三角板的短直角边分别在的两边上,利用刻度尺可使 , 两个直角三角板的长直角边交于点 , 连接 , 则为的平分线.
任务:
问题原型:如图①,正方形ABCD的对角线交于点O,点E、F分别为边AB、AD中点,且∠EOF=90°,易得四边形AEOF的面积是正方形ABCD的面积的四分之一.(不用证明)
探究发现:某数学兴趣小组,尝试改变点E、F的位置,点E、F分别为边AB、AD上任一点,且∠EOF=90°,如图②,探究:四边形AEOF的面积是否为正方形ABCD面积的四分之一?并说明理由.
拓展提升:如图③,菱形ABCD中,∠BAD=120°,∠EAF=60°,且点E、F分别在边DC、BC上,四边形AECF的面积是菱形ABCD面积的几分之一?(直接写出结果即可)
如图①,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求∠EAF的度数;
如图②,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=AD,点M,N是BD边上的任意两点,且∠MAN=45°,将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置,连接NH,试判断MN,ND,BM之间的数量关系,并说明理由.
( 1 )以O为圆心,任意长为半径画弧分别交OA,OB于点N,M;(2)分别以N,M为圆心,以OM长为半径在角的内部画弧交于点P;(3)作射线OP,则OP为∠AOB的平分线,可得∠AOP=22.5°根据以上作法,某同学有以下3种证明思路:
①可证明△OPN≌△OPM,得∠POA=∠POB,可得;②可证明四边形OMPN为菱形,OP,MN互相垂直平分,得∠POA=∠POB,可得;③可证明△PMN为等边三角形,OP,MN互相垂直平分,从而得∠POA=∠POB,可得.你认为该同学以上3种证明思路中,正确的有( )
求作:∠A'O'B',使∠A'O′B'=∠AOB
①如图1,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C、D;
②如图2,画一条射线O′A′,以点O′为圆心,OC长为半径画弧,交O′A′于点C′;
③以点C′为圆心,CD长为半径画弧,与第2步中所而的弧交于点D′;
④过点D′画射线O′B',则∠A'O'B'=∠AOB.
根据以上作图步骤,请你证明∠A'O'B′=∠AOB.