如图，，，点在上，四边形是矩形，连接，交于点，连接交于点．下列4个判断：① ；② ；③ ；④若点是线段的中点，则为等腰直角三角形，其中，判断正确的是．（填序号）

1. 矩形：
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
（2）性质：

对称性： ①矩形是一个轴对称图形，它至少有条对称轴．

②矩形是中心对称图形，它的对称中心是的交点．

定理： ①矩形的四个角都是直角．

②矩形的对角线互相平分且相等．
（3）判定：

①定义法．

②有三个角是直角的四边形是矩形．

③对角线相等的平行四边形是矩形．

④对角线相等且互相平分的四边形是矩形．

（4）拓展： ①矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形．

②矩形的面积等于两邻边的积．

基础知识填空容易

2. 如图，将矩形纸片 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在对角线 $\text{[math]}$ 上的 $\text{[math]}$ 处．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于．

填空题容易

3. 矩形内有一点 $\text{[math]}$ 到各边的距离分别为1、3、5、7，则该矩形的最大面积为平方单位.

填空题容易

1. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出人相补法．如图，在 $\text{[math]}$ 中，分别取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 分割后拼接成矩形 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则矩形 $\text{[math]}$ 的面积为.

填空题普通

2. 如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则AD的长为．

填空题普通

3. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，且 $\text{[math]}$ ，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点D及矩形 $\text{[math]}$ 的对称中心M，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 的面积为3，则k的值为．

填空题普通

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，则下列结论一定正确的是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题容易

2. 一张矩形纸片，截下一个三角形后，剩下部分的形状不可能是( )

A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 四边形 D. 五边形

单选题容易

3. 如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则AD的长为．

填空题普通

1.

(1) 如图所示，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将矩形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到新的矩形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连 $\text{[math]}$ ．

①请直接写出线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系 ▲ ，位置关系　▲；

②求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 如图2所示， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到新的 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 中点，连 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 旋转的过程中， $\text{[math]}$ 是否发生改变？如果不变，请求出 $\text{[math]}$ 的值；如果发生改变，请说明理由．

综合题困难

2. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴正半轴上，顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴正半轴上， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的动点(不与端点重合)，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，设 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为

(2) 如图2，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 后得到线段 $\text{[math]}$ (点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ )，连接 $\text{[math]}$ .

①当点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ 时，求线段 $\text{[math]}$ 的长；

②设点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式.

解答题困难

3. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， t为正数，点E是 $\text{[math]}$ 的中点，点P是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点（不与点A重合），点Q是 $\text{[math]}$ 的延长线 $\text{[math]}$ 上的一个动点（不与点C重合），且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点O ．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，并设 $\text{[math]}$ ．

(1) 嘉淇认为，能用含有x的式子表示S ，她的推理过程如下，请你补充完整：

∵ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，

且 $\text{[math]}$ （用含x和t的式子表示），

$\text{[math]}$ （用含x和t的式子表示），

∴ $\text{[math]}$ =（用含x的式子表示）．

(2) 若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长度（即x的值）；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，请结合t值的不同范围，写出 $\text{[math]}$ 的长度是多少？（结合表格进行分析，直接填写表格下面的三个空即可）

t的取值范围	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 的长度（x）	不存在	▲1	▲2

① $\text{[math]}$ ；②▲1处填写：；③▲2处填写：．

解答题困难