如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，，点、分别为边、上的动点(不与端点重合)，且，连接.

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1. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴正半轴上，顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴正半轴上， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的动点(不与端点重合)，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，设 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为

(2) 如图2，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 后得到线段 $\text{[math]}$ (点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ )，连接 $\text{[math]}$ .

①当点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ 时，求线段 $\text{[math]}$ 的长；

②设点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式.

【考点】

勾股定理的应用; 矩形的性质; 旋转的性质; 三角形的综合;

【答案】

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解答题困难

1. 我国古代数学家梅鼓成在其著作《增删算法统宗》中，有诗如下：今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖笔过去，亦长二尺无疑两隅斜去恰方齐，请问三色各几？意思是；今有一房门，不知宽与高，长竿横起进门入室，门的宽度比长竿小4尺；将长竿直立过门，门的高度比长竿小2尺.将长竿斜放穿过门的对角，恰好进门，试问门的宽、高和长竿各是多少尺？

解答题普通

2. 如图1，是我区某村修建于清光绪年间的一座城门，某节假日随父亲回家的张菲同学想利用所学的数学知识测量此城门的高度.

如图2，她站在城门前方点D处，正好看到了城门顶端A点在地面小水潭（近似看成平面镜）里的倒影点C，此时他测得DC的长度为1米；接着她抬起头，目测城门顶端A点的仰角∠α的度数为39°，已知张菲同学的眼睛到地面的距离为1.5米，请你计算城门高度AB（结果精确到1米，sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）.

解答题普通

3. 图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图， $\text{[math]}$ 为立柱的一部分，灯臂 $\text{[math]}$ ，支架 $\text{[math]}$ 与立柱 $\text{[math]}$ 分别交于A，B两点，灯臂 $\text{[math]}$ 与支架 $\text{[math]}$ 交于点C，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求支架 $\text{[math]}$ 的长.（结果精确到 $\text{[math]}$ ，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

解答题普通