已知双曲线C1：的渐近线方程为y=± x，且过点，其离心率为e，抛物线C2的顶点为坐标原点，焦点为．（Ⅰ）求抛物线C2的方程；（Ⅱ）O为坐标原点，设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且 =12．（i）求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；（ii）过点P作AB的垂线与抛物线交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．

1. 已知双曲线C₁： $\text{[math]}$ 的渐近线方程为y=± $\text{[math]}$ x，且过点 $\text{[math]}$ ，其离心率为e，抛物线C₂的顶点为坐标原点，焦点为 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求抛物线C₂的方程；

（Ⅱ）O为坐标原点，设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且 $\text{[math]}$ =12．

（i）求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；（ii）过点P作AB的垂线与抛物线交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．

【考点】

双曲线的简单性质;

【答案】

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解答题困难

1. 已知双曲线C： $\text{[math]}$ ＝1(a，b>0)的左、右焦点分别为F₁(-c，0)，F₂(c，0)，其中c>0， M(c，3)在C上，且C的离心率为2.

(1) 求C的标准方程；

(2) 若O为坐标原点，∠F1MF2的角平分线l与曲线D： $\text{[math]}$ ＝1的交点为P，Q，试判断OP与OQ是否垂直，并说明理由.

解答题普通

2. 双曲线 $\text{[math]}$ 的左顶点为 $\text{[math]}$ ，右焦点为 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的离心率；

(2) 若 $\text{[math]}$ 在第一象限，证明： $\text{[math]}$ ．

解答题困难

3. 已知圆C₁：x²+y²=r²（r＞0）与直线l₀：y= $\text{[math]}$ 相切，点A为圆C₁上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点M满足 $\text{[math]}$ ，设动点M的轨迹为曲线C．

(1) 求动点M的轨迹曲线C的方程；

(2) 若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围．

解答题普通