已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点.

1. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，虚轴长为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的左焦点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的左支于A、B两点.

(1) 求双曲线C的方程；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的余弦值；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，试问：是否存在直线 $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ 在以 $\text{[math]}$ 为直径的圆上？请说明理由.

【考点】

双曲线的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题困难

1. 双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，焦点到渐近线的距离为 $\text{[math]}$ ，斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与双曲线的右支交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，过 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 轴，交曲线 $\text{[math]}$ 的另外一个点为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作平行于 $\text{[math]}$ 的直线交曲线 $\text{[math]}$ 的另外一个点为 $\text{[math]}$ ，以此类推 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 轴，直线 $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ ，得到点列 $\text{[math]}$ ；记点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求双曲线 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 若 $\text{[math]}$ 过双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点 $\text{[math]}$ ，证明直线 $\text{[math]}$ 过定点；

(3) 若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 为双曲线右顶点， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

2. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线C交于不同的两点 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ 的重心在直线 $\text{[math]}$ 上，求k的值；

(2) 若直线 $\text{[math]}$ 过双曲线C的右焦点F，且直线 $\text{[math]}$ 的斜率之积是 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.

解答题普通

3. 设双曲线C： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的右焦点为F，点O为坐标原点，过点F的直线 $\text{[math]}$ 与C的右支相交于A，B两点．

(1) 当直线 $\text{[math]}$ 与x轴垂直，且 $\text{[math]}$ 两点的距离等于双曲线C的实轴长时，求双曲线C的离心率；

(2) 若双曲线C的焦距为4，且 $\text{[math]}$ 恒成立，求双曲线C的实轴长的取值范围．

解答题困难