双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．

1. 双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．

(1) 若l的倾斜角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

(2) 设 $\text{[math]}$ ，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．

【考点】

双曲线的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题困难

1. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的实轴长为 $\text{[math]}$ ，右焦点 $\text{[math]}$ 到一条渐近线的距离为1.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 过 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的两条渐近线的垂线，垂足分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标.

解答题困难

2. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，上顶点为 $\text{[math]}$ .直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的两支分别交于 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在第一象限），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .设直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角分别为 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，

（i）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

（ii）求证： $\text{[math]}$ 为定值；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的外接圆半径之比的最大值.

解答题困难

3. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且其焦点到渐近线的距离为1.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 若动直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 恰有1个公共点，且与 $\text{[math]}$ 的两条渐近线分别交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，证明： $\text{[math]}$ 的面积为定值.

解答题普通