平面图形ABB1A1C1C如图1所示，其中BB1C1C是矩形，BC=2，BB1=4，AB=AC= ，A1B1=A1C1= ．现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A2A，A2B，A2C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题．（Ⅰ）证明：AA1⊥BC；（Ⅱ）求AA1的长；（Ⅲ）求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．

1.

平面图形ABB₁A₁C₁C如图1所示，其中BB₁C₁C是矩形，BC=2，BB₁=4，AB=AC= $\text{[math]}$ ，A₁B₁=A₁C₁= $\text{[math]}$ ．现将该平面图形分别沿BC和B₁C₁折叠，使△ABC与△A₁B₁C₁所在平面都与平面BB₁C₁C垂直，再分别连接A₂A，A₂B，A₂C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题．

（Ⅰ）证明：AA₁⊥BC；

（Ⅱ）求AA₁的长；

（Ⅲ）求二面角A﹣BC﹣A₁的余弦值．

【考点】

直线与平面垂直的性质; 平面与平面垂直的性质; 二面角及二面角的平面角;

【答案】

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解答题普通

1. 已知如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 翻折至 $\text{[math]}$ 处，得到三棱锥 $\text{[math]}$ ，过M作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

解答题普通

2. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

解答题普通

3. 如图，在斜三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面ABC是边长为2的正三角形， $\text{[math]}$ ，侧棱AD与底面ABC所成角为60°．

(1) 求证：四边形BCFE为矩形；

(2) 求平面DBC与平面BCFE夹角的余弦值．

解答题普通