设椭圆的左焦点为，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 . （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.

1. 设椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点为 $\text{[math]}$ ，上顶点为 $\text{[math]}$ .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点 $\text{[math]}$ 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的负半轴上.若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为原点），且 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的斜率.

【考点】

椭圆的标准方程; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题普通

1. 已知A（0，3）和P（3， $\text{[math]}$ ）为椭圆C： $\text{[math]}$ ＝1（a＞b＞0）上两点．

(1) 求C的离心率；

(2) 若过P的直线l交C于另一点B ，且△ABP的面积为9，求l的方程．

解答题普通

2. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆 $\text{[math]}$ 上一点，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点．

(1) 若点A的横坐标为2，求|AF₁|的长；

(2) 设Γ的上、下顶点分别为M₁、M₂ ，记△AF₁F₂的面积为S₁ ， △AM₁M₂的面积为S₂ ，若S₁≥S₂ ，求|OA|的取值范围．

(3) 若点A在x轴上方，设直线AF₂与Γ交于点B ，与y轴交于点K ， KF₁延长线与Γ交于点C ，是否存在x轴上方的点C ，使得 $\text{[math]}$ 成立？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难

3. 已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.

(1) 求C的方程.

(2) A ， B是C上两个动点，D为C的上顶点，是否存在以D为顶点， $\text{[math]}$ 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由.

解答题困难