已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项…第im项（i1<i2<…<im）.若ai1<ai2<…<aim.则称新数列ai1 ， ai2 ， …，aim.为{an}的长度为m的递增子列.规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列.（I）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（II）已知数列{an}的长度为P的递增子列的末项的最小值为am0 ，长度为q的递增子列的末项的最小值为an0 ，若p<q，求证：am0<an0；（III）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个（s=1.2.…），求数列{an}的通项公式。

1. 已知数列{a_n}，从中选取第i₁项、第i₂项…第i_m项（i₁<i₂<…<i_m）.若a_i1<a_i2<…<a_im.则称新数列a_i1 ， a_i2 ， …，a_im.为{a_n}的长度为m的递增子列.规定：数列{a_n}的任意一项都是{a_n}的长度为1的递增子列.

（I）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；

（II）已知数列{a_n}的长度为P的递增子列的末项的最小值为a_m0 ，长度为q的递增子列的末项的最小值为a_n0 ，若p<q，求证：a_m0<a_n0；

（III）设无穷数列{a_n}的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若{a_n}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2^s-1个（s=1.2.…），求数列{a_n}的通项公式。

【考点】

数列的应用;

【答案】

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解答题困难

1. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 保持 $\text{[math]}$ 中各项先后顺序不变，在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间插入 $\text{[math]}$ 个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值（用数字作答）．

解答题普通

2. 对于每项均是正整数的数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，定义变换 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 将数列 $\text{[math]}$ 变换成数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．对于每项均是非负整数的数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，定义变换 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 将数列 $\text{[math]}$ 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 $\text{[math]}$ ；又定义 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ 是每项均为正整数的有穷数列，令 $\text{[math]}$ ．

(1) 如果数列 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，写出数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ；

(2) 对于每项均是正整数的有穷数列 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ ；

(3) 证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 $\text{[math]}$ ，存在正整数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

解答题困难

3. 记实数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 中较小者为 $\text{[math]}$ ，例如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对于无穷数列 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ .若对任意 $\text{[math]}$ 均有 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 为“趋向递增数列”.

(1) 已知数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的通项公式分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，判断数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是否为“趋向递增数列”？并说明理由；

(2) 已知首项为1，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列 $\text{[math]}$ 是“趋向递增数列”，求公比 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为正实数，且 $\text{[math]}$ ，求证：数列 $\text{[math]}$ 为“趋向递增数列”的必要非充分条件是 $\text{[math]}$ 中没有0.

解答题困难