十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为， 2表示为， 3表示为， 5表示为，发现若可表示为二进制表达式，则，其中，或．

1. 十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为 $\text{[math]}$ ， 2表示为 $\text{[math]}$ ， 3表示为 $\text{[math]}$ ， 5表示为 $\text{[math]}$ ，发现若 $\text{[math]}$ 可表示为二进制表达式 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．

(1) 记 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 记 $\text{[math]}$ 为整数 $\text{[math]}$ 的二进制表达式中的0的个数，如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（ⅰ）求 $\text{[math]}$ ；

（ⅱ）求 $\text{[math]}$ （用数字作答）．

【考点】

数列的应用; 数列的求和; 数列的通项公式;

【答案】

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解答题困难

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ．给定数列 $\text{[math]}$ ，和序列 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，对数列 $\text{[math]}$ 进行如下变换：将 $\text{[math]}$ 的第 $\text{[math]}$ 项均加1，其余项不变，得到的数列记作 $\text{[math]}$ ；将 $\text{[math]}$ 的第 $\text{[math]}$ 项均加1，其余项不变，得到数列记作 $\text{[math]}$ ；……；以此类推，得到 $\text{[math]}$ ，简记为 $\text{[math]}$ ．

(1) 给定数列 $\text{[math]}$ 和序列 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ ；

(2) 是否存在序列 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，若存在，写出一个符合条件的 $\text{[math]}$ ；若不存在，请说明理由；

(3) 若数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正整数，且 $\text{[math]}$ 为偶数，求证：“存在序列 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 的各项都相等”的充要条件为“ $\text{[math]}$ ”．

解答题困难

2. 定义：在数列 $\text{[math]}$ 中，若存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 为“ $\text{[math]}$ 型数列”.已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .

(1) 证明：数列 $\text{[math]}$ 为“3型数列”；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前15项和 $\text{[math]}$ .

解答题普通

3. 已知数列 $\text{[math]}$ 各项均为正数，且 $\text{[math]}$

(1) 求 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．

解答题普通