已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ．给定数列 $\text{[math]}$ ，和序列 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，对数列 $\text{[math]}$ 进行如下变换：将 $\text{[math]}$ 的第 $\text{[math]}$ 项均加1，其余项不变，得到的数列记作 $\text{[math]}$ ；将 $\text{[math]}$ 的第 $\text{[math]}$ 项均加1，其余项不变，得到数列记作 $\text{[math]}$ ；……；以此类推，得到 $\text{[math]}$ ，简记为 $\text{[math]}$ ．

(1) 给定数列 $\text{[math]}$ 和序列 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ ；

(2) 是否存在序列 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，若存在，写出一个符合条件的 $\text{[math]}$ ；若不存在，请说明理由；

(3) 若数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正整数，且 $\text{[math]}$ 为偶数，求证：“存在序列 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 的各项都相等”的充要条件为“ $\text{[math]}$ ”．

【考点】

数列的应用;

【答案】

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解答题困难

1. 对于一个 $\text{[math]}$ 行 $\text{[math]}$ 列的数表 $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 表示数表中第 $\text{[math]}$ 行第 $\text{[math]}$ 列的数，其中 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，且数表 $\text{[math]}$ 满足以下两个条件：

① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

(1) 已知数表 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示数集 $\text{[math]}$ 中最大的数．规定 $\text{[math]}$ ．证明： $\text{[math]}$ ；

(3) 证明：存在 $\text{[math]}$ ，对于任意 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ．

解答题困难

2. 已知每项均为正整数的数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中等于 $\text{[math]}$ 的项有 $\text{[math]}$ 个 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 设数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(2) 若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题普通

3. 对于一个m行n列的数表 $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 表示数表中第i行第j列的数， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ）．对于给定的正整数t，若数表 $\text{[math]}$ 满足以下两个条件，则称数表 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ：

① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ ．

(1) 以下给出数表1和数表2．

数表1

1	1	1
0	1	0
0	0	0

数表2

1	1	1	1
0	1	0	0
0	0	1	1
1	1	0	1
0	0	0	0

（i）数表1是否具有性质 $\text{[math]}$ ？说明理由；

（ii）是否存在正整数t，使得数表2具有性质 $\text{[math]}$ ？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由；

(2) 是否存在数表 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ？若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由；

(3) 给定偶数 $\text{[math]}$ ，对每一个 $\text{[math]}$ ，将集合 $\text{[math]}$ 中的最小元素记为 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的最大值．

解答题困难