若数列满足：①；②当为奇数时，；③当为偶数时，，则称数列具有“收缩性质”.已知数列具有“收缩性质”.

1. 若数列 $\text{[math]}$ 满足：① $\text{[math]}$ ；②当 $\text{[math]}$ 为奇数时， $\text{[math]}$ ；③当 $\text{[math]}$ 为偶数时， $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 具有“收缩性质”.已知数列 $\text{[math]}$ 具有“收缩性质”.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值构成的集合；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 为整数；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值构成的集合.

【考点】

数列的函数特性; 数列的应用; 数列与函数的综合;

【答案】

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解答题困难

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ．给定数列 $\text{[math]}$ ，和序列 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，对数列 $\text{[math]}$ 进行如下变换：将 $\text{[math]}$ 的第 $\text{[math]}$ 项均加1，其余项不变，得到的数列记作 $\text{[math]}$ ；将 $\text{[math]}$ 的第 $\text{[math]}$ 项均加1，其余项不变，得到数列记作 $\text{[math]}$ ；……；以此类推，得到 $\text{[math]}$ ，简记为 $\text{[math]}$ ．

(1) 给定数列 $\text{[math]}$ 和序列 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ ；

(2) 是否存在序列 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，若存在，写出一个符合条件的 $\text{[math]}$ ；若不存在，请说明理由；

(3) 若数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正整数，且 $\text{[math]}$ 为偶数，求证：“存在序列 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 的各项都相等”的充要条件为“ $\text{[math]}$ ”．

解答题困难

2. 若n项有穷数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，则称有穷数列 $\text{[math]}$ 为“对称数列”．

(1) 设数列 $\text{[math]}$ 是项数为7的“对称数列”， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 成等差数列，且 $\text{[math]}$ ，试写出所有可能的数列 $\text{[math]}$ ．

(2) 已知递增数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

①求 $\text{[math]}$ 的通项公式；

②组合数 $\text{[math]}$ 具有对称性，恰好构成一个“对称数列”，记 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．

解答题困难

3. 对于一个 $\text{[math]}$ 行 $\text{[math]}$ 列的数表 $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 表示数表中第 $\text{[math]}$ 行第 $\text{[math]}$ 列的数，其中 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，且数表 $\text{[math]}$ 满足以下两个条件：

① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

(1) 已知数表 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示数集 $\text{[math]}$ 中最大的数．规定 $\text{[math]}$ ．证明： $\text{[math]}$ ；

(3) 证明：存在 $\text{[math]}$ ，对于任意 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ．

解答题困难