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1. 对于实数a,b定义运算“⊗”为
, 例如
, 则关于x的方程
的根的情况,下列说法正确的是( )
A.
有两个不相等的实数根
B.
有两个相等的实数根
C.
无实数根
D.
无法确定
【考点】
一元二次方程根的判别式及应用; 定义新运算;
【答案】
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1. 关于x的一元二次方程
有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
单选题
容易
2. 关于
的方程
有实数根,则a满足的条件是( )
A.
B.
C.
且
D.
单选题
容易
3. 已知关于x的一元二次方程mx
2
+4x﹣1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( )
A.
m>﹣4且m≠0
B.
m<4且m≠0
C.
m<﹣4
D.
m>4
单选题
容易
1. 若关于x的一元二次方程
没有实数根,则二次函数
的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
单选题
普通
2. 若关于
的一元二次方程
没有实数根,则
的值可以是( )
A.
B.
C.
D.
单选题
普通
3. 对于实数a、b,定义运算“★”:a★b=
, 关于x的方程(2x+1)★(2x-3)=t恰好有两个不相等的实数根,则t的取值范围是( )
A.
t<
B.
t>
C.
t<
D.
t>
单选题
普通
1. 已知关于x的一元二次方程kx
2
﹣4x﹣2=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是
.
填空题
容易
2. 关于x的一元二次方程x
2
﹣2x+2m﹣1=0有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)请选择一个符合条件的m的值,并求此时方程的根.
解答题
普通
3. 关于x的一元二次方程
没有实数根,则m的取值范围是
.
填空题
普通
1. 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.将形如ax
2
+
cx+b=0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”.
(1)
以下方程为“直系一元二次方程”的是
;(填序号)
①3x
2
+4
x+5=0;②5x
2
+13
x+12=0.
(2)
若x=﹣1是“直系一元二次方程”ax
2
+
cx+b=0的一个根,且△ABC的周长为2
+2,求c的值.
(3)
求证:关于x的“直系一元二次方程”ax
2
+
cx+b=0必有实数根.
综合题
普通
2. 在平面直角坐标系中有且只有一个交点的两个函数称为“亲密函数”,这个唯一的交点称为他们的“密接点”.例如:
与
有且只有一个交点
, 则称这两个函数为“亲密函数”,点
称为他们的“密接点”.
(1)
判断下列几组函数,是“亲密函数”的在横线上记“
”,不是“亲密函数”的在横线上记“
”;
与
;
与
;
与
.
(2)
一次函数
与反比例函数
(其中
为常数,
),且他们的“密接点”
到原点的距离等于
, 求
的值.
(3)
两条直线
与
都是二次函数
的“亲密函数”,且“密接点”分别为
. 记直线
与
的交点的纵坐标为
, 直线
与
轴的交点的纵坐标为
. 试判断
与
的关系,并证明你的判断.
实践探究题
困难
3. 已知关于
的方程
与
都有实数根,若这两个方程有且只有一个公共根,且
, 则称它们互为“同根轮换方程”. 如
与
互为“同根轮换方程”.
(1)
方程
与
互为“同根轮换方程”吗?
(2)
若关于
的方程
与
互为“同根轮换方程”,求
的值;
(3)
已知方程①:
和方程②:
,
、
分别是方程①和方程②的实数根,且
. 试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”?如果能,用含
的代数式分别表示
和
;如果不能,请说明理由.
解答题
困难
1. 对于实数
,
定义新运算:
, 若关于
的方程
有两个不相等的实数根,则
的取值范围( )
A.
B.
C.
且
D.
且
单选题
普通
2. 定义新运算
:对于任意实数
,
满足
, 其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算,例如
. 若
(
为实数)是关于
的方程,则它的根的情况是( )
A.
有一个实数根
B.
有两个不相等的实数根
C.
有两个相等的实数根
D.
没有实数根
单选题
普通
3. 对于实数
定义运算“☆”如下:
,例如
,则方程
的根的情况为( )
A.
没有实数根
B.
只有一个实数根
C.
有两个相等的实数根
D.
有两个不相等的实数根
单选题
普通