如图，已知多面体ABCA1B1C1 ， A1A ， B1B ， C1C均垂直于平面ABC ， ∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．

1. 如图，已知多面体ABCA₁B₁C₁ ， A₁A ， B₁B ， C₁C均垂直于平面ABC ， ∠ABC=120°，A₁A=4，C₁C=1，AB=BC=B₁B=2．

（Ⅰ）证明：AB₁⊥平面A₁B₁C₁；

（Ⅱ）求直线AC₁与平面ABB₁所成的角的正弦值．

【考点】

用空间向量研究直线与平面所成的角;

【答案】

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解答题普通

1. 将一边长为 $\text{[math]}$ 的正六边形沿 $\text{[math]}$ 对折，然后将它倒放在水平面上，就构成了如图乙所示的五面体，底面 $\text{[math]}$ 是正方形.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的正弦值；

(2) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的正弦值.

解答题普通

2. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点共面；

(2) 求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦的最大值.

解答题普通

3. 如图，四棱柱 $\text{[math]}$ 的侧棱 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.

(1) 证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点共面；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

解答题普通