已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段上一点，．

1. 已知两个非零向量 $\text{[math]}$ ，在空间任取一点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 叫做向量 $\text{[math]}$ 的夹角，记作 $\text{[math]}$ ．定义 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的“向量积”为： $\text{[math]}$ 是一个向量，它与向量 $\text{[math]}$ 都垂直，它的模 $\text{[math]}$ ．如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值；

(3) 若 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点，且满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．

【考点】

空间向量垂直的坐标表示;

【答案】

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解答题困难

1. 已知空间中三点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$

(1) 已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的坐标.

解答题普通

2. 在空间直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .

(1) 求点 $\text{[math]}$ 的坐标（用 $\text{[math]}$ 表示）；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

3. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD为平行四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 底面ABCD．

(1) 证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小．

解答题困难