如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为．

1. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面是边长为2的等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内的射影为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点（不包括端点），求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值的取值范围．

【考点】

直线与平面垂直的判定; 用空间向量研究二面角;

【答案】

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解答题普通

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 上的点，满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 的重心，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ 的位置，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，如图所示．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，若存在，求出 $\text{[math]}$ 的长度；若不存在，请说明理由．

解答题普通

2. 如图四棱锥 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 是边长为1的正方形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

解答题普通

3. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.

解答题普通