如图，乐器上的一根琴弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，则之间的距离为．

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1. 如图，乐器上的一根琴弦 $\text{[math]}$ ，两个端点 $\text{[math]}$ 固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点 $\text{[math]}$ 是靠近点A的黄金分割点，则 $\text{[math]}$ 之间的距离为．

【考点】

黄金分割;

【答案】

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填空题普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 把长为 $\text{[math]}$ 的线段进行黄金分割，那么较长线段长是．（结果保留根号）

填空题容易

2. 已知 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的黄金分割点， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

填空题容易

3. “黄金分割”给人以美感，它不仅在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，而且在大自然中处处有美的痕迹，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为 $\text{[math]}$ 的黄金分割点 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的长度是cm．

填空题容易

1. 2024年，四川天府新区美术馆入选法国凡尔赛建筑奖《2024全球最美七大博物馆》．我们知道在美术作品中常常会运用“黄金分割”，以突出画面焦点，如图，若点C可看作是线段 $\text{[math]}$ 的黄金分割点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ．（结果保留根号）

填空题普通

2. 在如图所示的“五角星”图案中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点都是线段 $\text{[math]}$ 的黄金分割点，若 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长为．（结果保留根号）

填空题普通

3. 悦悦同学在晨间音乐会中表演了小提琴演奏，同学们发现，小提琴的设计中，蕴含着数学知识，如图，点C是小提琴长 $\text{[math]}$ 的黄金分割点（ $\text{[math]}$ ），已知悦悦的琴长 $\text{[math]}$ ，则琴身 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ．

填空题普通

1. 已知P为线段 $\text{[math]}$ 的黄金分割点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题容易

2. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，点 $\text{[math]}$ 将一条线段 $\text{[math]}$ 分割成长、短两条线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若较短线段与较长线段的长度之比等于较长线段的长度与全长之比，这种分割称为黄金分割，这个点 $\text{[math]}$ 叫做线段 $\text{[math]}$ 的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台 $\text{[math]}$ 长20米，主持人从舞台一侧 $\text{[math]}$ 进入，设她至少走 $\text{[math]}$ 米（ $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ 米）时恰好站在舞台的黄金分割点上，则 $\text{[math]}$ 满足的方程是（　　）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

3. 已知点C是线段 $\text{[math]}$ 的黄金分割点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长度是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题容易

1. 已知线段 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 a 、b 、c 的值；

(2) 若线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，求 x 的值；

(3) 将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度；

计算题普通

2. 综合与实践

【问题提出】

勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中"贵金分割"给人以美感.课本第56页这样定义"黄金分割点"：如图1，点 $\text{[math]}$ 将线段AB分成两部分 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称点 $\text{[math]}$ 为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比.

(1) 【初步感知】

如图1，若 $\text{[math]}$ ，求临金比 $\text{[math]}$ 的值.

(2) 【类比探究】

如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是BC边上一点，AD将 $\text{[math]}$ 分割成两个三角形（ $\text{[math]}$ ），若 $\text{[math]}$ ，则称AD为 $\text{[math]}$ 的黄金分割线.

①求证：点D是线段BC的黄金分割点：

②若△ABC的面积为4，求△ACD的面积.

(3) 【拓展应用】

如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为A，B上的一点（不与A，B重合），过D作DE∥BC，交AC于E，BE，CD相交于 $\text{[math]}$ ，连接AF并延长，与DE，BC分别交于M，N.请问直线AN是 $\text{[math]}$ 的黄金分割线吗?并说明理由.