在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图1所示，四边形的四个顶点分别为，，，．

1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象如图1所示，四边形 $\text{[math]}$ 的四个顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 当四边形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 与反比例函数的图象有且只有 $\text{[math]}$ 个公共点时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 如图2，若反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象与四边形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的两个黄金分割点，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积；

(3) 如图3，若反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象与四边形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 围成的封闭区域内部 $\text{[math]}$ 不含边界 $\text{[math]}$ 刚好有 $\text{[math]}$ 个整点 $\text{[math]}$ 横、纵坐标都为整数的点 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

反比例函数与一次函数的交点问题; 黄金分割; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

1. 小明同学进行探究学习以下内容：“一个点把一条线段分为两段，如果其中较长的一段与整个线段的比等于较短一段与较长一段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，较长的一段与整个线段的比值（或较短一段与较长一段的比值）叫做黄金分割数 $\text{[math]}$ ． ”

探究发现：在现实生活中，黄金分割无处不在；如图1，我国国旗上的正五角星也存在黄金分割数，如： $\text{[math]}$ ．

问题解决：

(1) 如图2，已知线段AB的长为1，线段AB上的点 $\text{[math]}$ ，满足关系式 $\text{[math]}$ ．请你计算 $\text{[math]}$ 的长度，并判断 $\text{[math]}$ 的长度是否为黄金分割数．

(2) 如图2，若在线段 $\text{[math]}$ 上再取一个点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ；在线段 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ……以此类推，在线段 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．请你直接写出 $\text{[math]}$ 的长度．

解答题普通

2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图绳交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为M， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点B的纵坐标为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求反比例函数表达式和一次函数的解析式；

(2) 直接写出当 $\text{[math]}$ 时，自变量的取值范围；

(3) 连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

(4) 已知点P为图中双曲线上的一点，而且 $\text{[math]}$ ，请直接写出点P的坐标．

解答题普通

3. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图绳交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为M， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点B的纵坐标为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求反比例函数表达式和一次函数的解析式；

(2) 直接写出当 $\text{[math]}$ 时，自变量的取值范围；

(3) 连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

(4) 已知点P为图中双曲线上的一点，而且 $\text{[math]}$ ，请直接写出点P的坐标．

解答题普通