由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同．已知地球表面两极处的重力加速度大小为，在赤道处的重力加速度大小为，地球自转的周期为，引力常量为．假设地球可视为质量均匀分布的球体．求：（1）质量为的物体在地球北极所受地球对它的万有引力的大小．（2）地球的半径．（3）地球的密度．

1. 由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同．已知地球表面两极处的重力加速度大小为 $\text{[math]}$ ，在赤道处的重力加速度大小为 $\text{[math]}$ ，地球自转的周期为 $\text{[math]}$ ，引力常量为 $\text{[math]}$ ．假设地球可视为质量均匀分布的球体．求：

（1）质量为 $\text{[math]}$ 的物体在地球北极所受地球对它的万有引力的大小．

（2）地球的半径．

（3）地球的密度．

【考点】

万有引力定律;

【答案】

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解答题普通

1. 中国的月球计划分为“绕月—探月—登月”三步，并预计在2030年前实现登月计划。假设在不久的将来，中国载人飞船在月球表面成功着陆，宇航员在月球表面将一小球以初速度 $\text{[math]}$ 竖直向上抛出，经时间t小球落回抛出点。已知万有引力常量G、月球的半径R和 $\text{[math]}$ ，忽略月球的自转。求月球的平均密度。

解答题普通

2. 有人设想建设贯通地球弦线的光滑列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，O'为隧道的中点，O'与地心O的距离为 $\text{[math]}$ ，如图所示。假设地球是质量均匀分布的球体，地球的半径为R，表面的重力加速度为g，忽略地球的自转。已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零，P点到O'的距离为x，求：

(1) 列车在P点受到引力的大小与列车在地面受到重力大小mg的比值；

(2) 列车在P点沿隧道AB方向的加速度大小；

(3) 列车在运动中的最大速度的大小。

解答题困难