如果三个互不相同的函数，，在区间上恒有或，则称为与在区间上的“分割函数”．

1. 如果三个互不相同的函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上恒有 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的“分割函数”．

(1) 证明：函数 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的分割函数；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的“分割函数”，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，且存在实数 $\text{[math]}$ ，使得函数 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的“分割函数”，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

【考点】

函数恒成立问题; 利用导数研究函数的单调性;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 若函数 $\text{[math]}$ 在其定义域内为增函数，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 设函数 $\text{[math]}$ ，若在 $\text{[math]}$ 上至少存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，求a的取值范围；

(2) 若 $\text{[math]}$ 恒成立，求a的取值范围．

解答题普通

3. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的最小值.

（2）设 $\text{[math]}$ ，若当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有三个不同的零点，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

（3）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难