如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作等边三角形ADE，DE与AC交于点F.(1)试判断DF与EF的数量关系，并给出证明；(2)若CF的长为2 cm，试求等边三角形ABC的边长．

1. 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作等边三角形ADE，DE与AC交于点F.

(1)试判断DF与EF的数量关系，并给出证明；

(2)若CF的长为2 cm，试求等边三角形ABC的边长．

【考点】

等边三角形的性质;

【答案】

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证明题普通

1. 阅读下列材料，解答相应问题：

已知 $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ 是高，设 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ，到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ，到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ．

如图1，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，我们容易发现： $\text{[math]}$ ，因此得到： $\text{[math]}$ ．

(1) 小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论 $\text{[math]}$ 还成立吗？若成立，借助图 $\text{[math]}$ 证明你的猜想

(2) 进一步猜想：当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h₁ ， h₂与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明．(借助答题卡上的图4)

(3) 延伸，当点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上时，借助图 $\text{[math]}$ ，直接写出结论，不必证明．

证明题困难

2. 如图：△ABC和△ADE都是等边三角形，AD是BC边上的中线.求证：AB垂直平分DE.

证明题普通

3. 如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线.求证：BE＝BD.

证明题普通