已知：正方形，为平面内任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，当点，，在一条直线时，若，，则．

1. 如图，直线 $\text{[math]}$ 过正方形的顶点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离分别是2和3，则正方形的边长是．

填空题容易

2. 如图，直线 $\text{[math]}$ 过正方形的顶点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离分别是2和3，则正方形的边长是．

填空题容易

3. 如图，点 $\text{[math]}$ 在正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 则线段 $\text{[math]}$ 的长为．

填空题容易

1. 已知正方形 $\text{[math]}$ 边长为4，在直线 $\text{[math]}$ 上有一点E，且 $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ 的垂线交直线 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

填空题普通

2. 在直线l上放置三个正方形a，b，c，正方形a的边长为3，正方形c的边长为4，则正方形b的面积是．

填空题普通

3.

如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE=4，则线段BE的长为．

填空题普通

1. 在直线l上放置三个正方形a，b，c，正方形a的边长为3，正方形c的边长为4，则正方形b的面积是．

填空题普通

2. 正方形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，则这个正方形的面积是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

3. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，直线m、n、l分别经过A、B、C三点，且 $\text{[math]}$ ．若m与n之间的距离是2，n与l之间的距离是3，则 $\text{[math]}$ 的长是（）

A. 3 B. 4 C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

1. 如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点D是线段 $\text{[math]}$ 的一动点，它以每秒2个单位速度从A点向O点运动，连接 $\text{[math]}$ 过点D作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 于E点，设D点的运动时间为t秒（ $\text{[math]}$ ）．

(1) 当D点到达 $\text{[math]}$ 的中点时， $\text{[math]}$ ________；

(2) 请用t的代数式表示 $\text{[math]}$ 的长度，并求出t为何值时， $\text{[math]}$ 有最小值，是多少？

(3) 若已知F点在直线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， P为x轴上一点且 $\text{[math]}$ 于点P，请直接写出满足此条件的P点坐标．

解答题困难

2. 如图1，由四个全等的直角三角形的直角边拼接成一个正方形ABCD，我们称这样的图形为“弦图”，“弦图”是中国古代数学的瑰宝．在如图2的“弦图”中，连结AC，EG交于点O，设AC与EH，FG的交点分别为M，N．吴老师和学生们对此“弦图”进行研究性学习时，有如下交流：吴老师：利用弦图中的三角形全等关系可证明“四边形EFGH是正方形，O是AC和EG的中点．”；

小聪：这两个结论都能证明，我还发现“△AOE∽△EOM”；

小颖：我发现“已知AE，BE的长度，就能确定MN的长度”，如：“已知AE＝3，BE＝1，求MN的长．”结合上述师生的交流：

(1) 请你证明小聪发现的结论；

(2) 请你解答小颖提出的问题“已知AE＝3，BE＝1，求MN的长．”

实践探究题困难

3. 综合与实践

在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．

【操作探究】

“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：

第 $\text{[math]}$ 步：如图 $\text{[math]}$ 所示，先将正方形纸片 $\text{[math]}$ 对折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，然后展开铺平，折痕为 $\text{[math]}$ ；

第 $\text{[math]}$ 步：将 $\text{[math]}$ 边沿 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 的位置；

第 $\text{[math]}$ 步：延长 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 边的三等分点．

证明过程如下：连接 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 正方形 $\text{[math]}$ 折叠，

$\text{[math]}$ ▲ ，

又 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ．

由题意可知 $\text{[math]}$ 的中点，设 $\text{[math]}$ 个单位 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，

在 $\text{[math]}$ 中，可列方程： $\text{[math]}$ ▲ ， $\text{[math]}$ 方程不要求化简 $\text{[math]}$

解得： $\text{[math]}$ ▲ ，即 $\text{[math]}$ 边的三等分点．

“破浪”小组是这样操作的：

第 $\text{[math]}$ 步：如图 $\text{[math]}$ 所示，先将正方形纸片对折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，然后展开铺平，折痕为 $\text{[math]}$ ；

第 $\text{[math]}$ 步：再将正方形纸片对折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，再展开铺平，折痕为 $\text{[math]}$ ，沿 $\text{[math]}$ 翻折得折痕 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；

第 $\text{[math]}$ 步：过点 $\text{[math]}$ 折叠正方形纸片 $\text{[math]}$ ，使折痕 $\text{[math]}$ ．

【过程思考】

(1) “乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是

$\text{[math]}$ ：， $\text{[math]}$ ：， $\text{[math]}$ ：；

(2) 结合“破浪”小组操作过程，判断点 $\text{[math]}$ 是否为 $\text{[math]}$ 边的三等分点，并证明你的结论；

(3) 【拓展提升】

如图 $\text{[math]}$ ，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 上的一个三等分点，记点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 与菱形 $\text{[math]}$ 的边交于点 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．