材料1：如图1，昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图2所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，主索几何形态近似符合抛物线．材料2：如图3，某一同类型悬索桥，两桥塔AD＝BC＝10 m，间距AB为32 m，桥面AB水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为2 m；为了进行研究，甲、乙、丙三位同学分别以不同方式建立了平面直角坐标系，如下图：甲同学：以DC中点为原点，DC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；乙同学：以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；丙同学：以点P为原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系.（1）请你选用其中一位同学建立的平面直角坐标系，写出此种情况下点C的坐标，并求出主索抛物线的表达式；（2）距离点P水平距离为4 m和8 m处的吊索共四条需要更换，则四根吊索总长度为多少米？

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1. 材料1：如图1，昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图2所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，主索几何形态近似符合抛物线．

材料2：如图3，某一同类型悬索桥，两桥塔AD＝BC＝10 m，间距AB为32 m，桥面AB水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为2 m；

为了进行研究，甲、乙、丙三位同学分别以不同方式建立了平面直角坐标系，如下图：

甲同学：以DC中点为原点，DC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；

乙同学：以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；

丙同学：以点P为原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系.

（1）请你选用其中一位同学建立的平面直角坐标系，写出此种情况下点C的坐标，并求出主索抛物线的表达式；

（2）距离点P水平距离为4 m和8 m处的吊索共四条需要更换，则四根吊索总长度为多少米？

【考点】

二次函数的实际应用-拱桥问题;

【答案】

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解答题困难

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 某涵洞的横断面呈拋物线形，现测得底部的宽 $\text{[math]}$ ，涵洞顶部到底面的最大高度为 $\text{[math]}$ 在如图所示的直角坐标系中，求抛物线所对应的二次函数的表达式.

解答题容易

1. 一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索 $\text{[math]}$ 与缆索 $\text{[math]}$ 均呈抛物线型，桥塔 $\text{[math]}$ 与桥塔 $\text{[math]}$ 均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线 $\text{[math]}$ 为x轴，以桥塔 $\text{[math]}$ 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．

已知：缆索 $\text{[math]}$ 所在抛物线与缆索 $\text{[math]}$ 所在抛物线关于y轴对称，桥塔 $\text{[math]}$ 与桥塔 $\text{[math]}$ 之间的距离 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，缆索 $\text{[math]}$ 的最低点P到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ （桥塔的粗细忽略不计）

(1) 求缆索 $\text{[math]}$ 所在抛物线的函数表达式；

(2) 点E在缆索 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

2. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 $\text{[math]}$ ，桥洞的跨度为 $\text{[math]}$ ，如图，建立平面直角坐标系．

(1) 求这条抛物线的函数解析式．

(2) 求离对称轴 $\text{[math]}$ 处，桥洞离水面的高是多少米？

解答题普通

3. 如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离

解答题普通

1. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为m．

填空题普通

2. 如图，这是某市文化生态园中抛物线型拱桥及其示意图，已知抛物线型拱桥的函数表达式为 $\text{[math]}$ ，为了美化拱桥夜景，拟在该拱桥上距水面（AB）6m处安装夜景灯带EF ，则夜景灯带EF的长是m．

填空题普通

3. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m.若在此基础上水面下降1m，则水面宽度为.

填空题普通

1. 如图1，某桥拱截面 $\text{[math]}$ 可视为抛物线的一部分，以O为坐标原点， $\text{[math]}$ 所在直线为x轴建立平面直角坐标系．在某一时刻，桥拱内的水面宽 $\text{[math]}$ 米，桥拱顶点B到水面的距离是4米．

(1) 求抛物线对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(2) 要保证高2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最大宽度是多少？

(3) 如图2，桥拱所在的抛物线在x轴下方部分与桥拱 $\text{[math]}$ 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象，将新函数图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，平移后的函数图象在 $\text{[math]}$ 时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出n的取值范围．

综合题困难

2. 如图1，一段高架桥的两墙 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 由抛物线一部分 $\text{[math]}$ 连接，为确保安全，在抛物线一部分 $\text{[math]}$ 内修建了一个菱形支架 $\text{[math]}$ ，抛物线的最高点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在抛物线一部分 $\text{[math]}$ 上，以 $\text{[math]}$ 所在的直线为 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 所在的直线为 $\text{[math]}$ 轴，建立平面直角坐标系 $\text{[math]}$ ，确定一个单位长度为1米．

(1) 求此抛物线对应的函数表达式；

(2) 求高架桥两端的 $\text{[math]}$ 的距离；

(3) 如图2，现在将菱形 $\text{[math]}$ 做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形 $\text{[math]}$ 广告牌，已知矩形 $\text{[math]}$ 广告牌的价格为80元/米 $\text{[math]}$ ，其余部分广告牌的价格为160元/米 $\text{[math]}$ ，试求菱形广告牌所需的最低费用．

解答题困难

3. 设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方案

素材一

图 1 是一座隐藏在漳州城市中的 “彩虹桥”，也是近年来比较热门的网红打卡点，它由 200 多个铁架和 2400 多个灯笼组成.

如图 2，每个铁架的横截面可以分为 3 段，其中 $\text{[math]}$ 是固定支架，分别与地面 $\text{[math]}$ 垂直，主体支架可近似看作一段抛物线，最高点离地面 $\text{[math]}$ 的距离是 $\text{[math]}$ .

素材二

由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯笼替换成长度为 $\text{[math]}$ 的彩色灯带，沿抛物线 (主体支架)安装 (如图 3)，且相邻两条灯带安装点的水平间距为 $\text{[math]}$ . 为了安全起见，灯带底部与地面的距离不低于 2.5 m . 灯带安装好后成轴对称分布.

问题解决

(1) 【任务一：确定主体支架的形状】请在图 2 中以点 $\text{[math]}$ 为原点建立平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式.

(2) 【任务二：探究安装范围】在安全前提下，在任务一的坐标系中，确定灯带安装点的横坐标取值范围.

(3) 【任务三：拟定设计方案】在同一个横截面下，最多能安装几条灯带? 并求出此时最右边灯带安装点的坐标.

实践探究题困难

1. 三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）

A. 4 $\text{[math]}$ 米 B. 5 $\text{[math]}$ 米 C. 2 $\text{[math]}$ 米 D. 7米

单选题普通

2. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米.

填空题普通

3. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1	图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽 20m ，拱顶离水面 5m ．据调查，该河段水位在此基础上再涨 1.8m 达到最高．
素材2	为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂 40cm 长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于 1m ；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 1.6m ；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1	确定桥拱形状	在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2	探究悬挂范围	在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3	拟定设计方案	给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．

实践探究题普通