下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程．已知：如图1，⊙及⊙上一点．求作：直线PN，使得PN与⊙相切．作法：如图2，①作射线OP；②在⊙外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点M；③连接MQ并延长交⊙Q于点N；④作直线PN．所以直线PN即为所求作直线．根据小石设计的尺规作图的过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵是⊙的直径，∴＝（）（填推理的依据）．∴ ．又∵是⊙的半径， ∴是⊙的切线（）（填推理的依据）．

1. 下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程．

已知：如图1，⊙ $\text{[math]}$ 及⊙ $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ ．

求作：直线PN，使得PN与⊙ $\text{[math]}$ 相切．

作法：如图2，

①作射线OP；

②在⊙ $\text{[math]}$ 外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点M；

③连接MQ并延长交⊙Q于点N；

④作直线PN．

所以直线PN即为所求作直线．

根据小石设计的尺规作图的过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：∵ $\text{[math]}$ 是⊙ $\text{[math]}$ 的直径，

∴ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ （）（填推理的依据）．

∴ $\text{[math]}$ ．

又∵ $\text{[math]}$ 是⊙ $\text{[math]}$ 的半径，

∴ $\text{[math]}$ 是⊙ $\text{[math]}$ 的切线（）（填推理的依据）．

【考点】

圆周角定理; 切线的判定;

【答案】

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作图题普通

1. 下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．

已知： $\text{[math]}$ 及圆上一点A．

求作：直线 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的切线，A为切点．

作法：如图，

①连接 $\text{[math]}$ 并延长到点C；

②分别以点A，C为圆心，大于 $\text{[math]}$ 长为半径作弧，两弧交于点D（点D在直线 $\text{[math]}$ 上方）；

③以点D为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作 $\text{[math]}$ ；

④连接 $\text{[math]}$ 并延长，交 $\text{[math]}$ 于点B，作直线 $\text{[math]}$ ．

直线 $\text{[math]}$ 就是所求作的直线．

根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）

证明：连接 $\text{[math]}$ ．

∵ ① $\text{[math]}$

∴点C在 $\text{[math]}$ 上，

∴ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径．

∴ ② $\text{[math]}$ ．（ ③ ）

∴ $\text{[math]}$ ④ ．

∵ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，

∴ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线．（ ⑤ ）

作图题容易

2. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

解答题容易

3. 如图，已知AB为半圆的直径，AD为半圆的弦，C是弧BD的中点．若∠BAD＝40°，求∠ABC的度数．

解答题容易