《九章算术》中记载着这样的一个问题：“今有邑方，不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何？”大意如下：如图，、为正方形一组对边的中点，中，、、、四点共线，，、、三点共线，且，步，步，步，求正方形的边长．(参考数据：)

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1. 《九章算术》中记载着这样的一个问题：“今有邑方，不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何？”大意如下：如图， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 一组对边的中点， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四点共线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点共线，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 步， $\text{[math]}$ 步， $\text{[math]}$ 步，求正方形 $\text{[math]}$ 的边长．(参考数据： $\text{[math]}$ )

【考点】

相似三角形的判定与性质;

【答案】

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计算题普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 如图， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题容易

2. 如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

填空题容易

3. 如图， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值等于．

填空题容易

1. 阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．

图算法

图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系： $\text{[math]}$ 得出，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．

再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？

我们可以利用公式 $\text{[math]}$ 求得 $\text{[math]}$ 的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个 $\text{[math]}$ 的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．

图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．

任务：

（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；

（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：

①用公式 $\text{[math]}$ 计算：当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值为多少；

②如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，用你所学的几何知识求线段 $\text{[math]}$ 的长．

计算题普通

2. 抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C．

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 时，

①直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；

②若抛物线上有一点P，使 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标．

(2) 如图2，平移直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于M，N两点，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点G，若点G在定直线 $\text{[math]}$ 上运动，求m的值．

计算题困难

3. 如图，双曲线y＝ $\text{[math]}$ （x＞0）经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB∥x轴，点A的坐标为（2，3）．

（1）确定k的值；

（2）若点D（3，m）在双曲线上，求直线AD的解析式；

（3）计算△OAB的面积．

计算题普通

1. 如图，点P是正方形 $\text{[math]}$ 内一点，连接 $\text{[math]}$ 并延长，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转90°至 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长为( )

A. $\text{[math]}$ B. 4 C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

2. 图（a）是燕尾夹，图（b）是燕尾夹简化的示意图，夹臂 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 可分别绕点 $\text{[math]}$ 旋转，不考虑夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即 $\text{[math]}$ 两点重合）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．如图（c），当夹子完全张开时（即 $\text{[math]}$ 两点重合），夹嘴间的距离 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ．

填空题容易

3. 如图，在 $\text{[math]}$ ABCD中，E为BC中点，连接AE交对角线BD于F，BF=2，则FD等于( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

单选题容易

1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，放置一个矩形 $\text{[math]}$ ，使矩形的一个顶点 $\text{[math]}$ 和坐标原点重合，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 分别在第一和第四象限内，若点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的纵坐标满足“ $\text{[math]}$ ”，则称矩形 $\text{[math]}$ 具有“条件 $\text{[math]}$ ”．如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 当矩形 $\text{[math]}$ 具有“条件0”，求此时点 $\text{[math]}$ 坐标；

(2) 当矩形 $\text{[math]}$ 具有“条件1”，求此时 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴正半轴所夹角的正弦值；

(3) 若矩形 $\text{[math]}$ 具有“条件 $\text{[math]}$ ”，当点 $\text{[math]}$ 在第一象限内，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 轴正半轴于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似，直接写出此时 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

2. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角 $\text{[math]}$ 等于反射角 $\text{[math]}$ ．这就是光的反射定律．

【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点 $\text{[math]}$ 处，灯泡到地面的高度 $\text{[math]}$ ，手电筒的光从平面镜上点 $\text{[math]}$ 处反射后，恰好经过木板的边缘点 $\text{[math]}$ ，落在墙上的点 $\text{[math]}$ 处，点 $\text{[math]}$ 到地面的高度 $\text{[math]}$ ，灯泡到木板的水平距离 $\text{[math]}$ ，木板到墙的水平距离为 $\text{[math]}$ ．图中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一条直线上．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 求点 $\text{[math]}$ 到地面的高度 $\text{[math]}$ ．

综合题普通

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．