若四边形的对角线相等且互相平分，则下列关于四边形的形状判断正确的是( )

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1. 若四边形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 相等且互相平分，则下列关于四边形 $\text{[math]}$ 的形状判断正确的是( )

A. 一定是矩形，但不一定是正方形 B. 一定是菱形 C. 一定是平行四边形，但不可能是矩形 D. 一定是正方形

【考点】

矩形的判定; 正方形的判定;

【答案】

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单选题普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 已知四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题容易

2. 已知四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，如果只添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互相平分

单选题容易

3. 下列说法中，错误的是（）

A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形

单选题容易

1. 下列说法正确的是（　　）

A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 四边相等的四边形是正方形 C. 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 D. 对角线相等的矩形是正方形

单选题普通

2. 在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是不是矩形．下面是某合作学习小组的 4 名同学拟定的方法： ①测量对角线是否互相平分， ②测量两组对边是否分别相等， ③测量一组对角是否都为直角， ④测量其中三个角是否都为直角．其中正确的是（）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

单选题普通

3. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，添加的下列条件中，能判定平行四边形 $\text{[math]}$ 是正方形的是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

1. 已知：如图，在四边形ABCD中，对角线相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证：四边形ABCD是正方形．

解答题普通

2. 如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件使平行四边形ABCD是矩形．

填空题容易

3. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，延长 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，要使四边形 $\text{[math]}$ 成为矩形，可添加一个条件是．(只要写出一个条件即可)

填空题容易

1. 如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一个动点，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的平分线于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的平分线于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系是；

(2) 探究：线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并加以证明；

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 运动到何处时，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，并说明理由；

(4) 在 $\text{[math]}$ 的前提下，直接写出 $\text{[math]}$ 满足什么条件时，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形．

实践探究题困难

2. 综合与实践

顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．

以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．

【探究一】

原四边形对角线关系	中点四边形形状
不相等、不垂直	平行四边形

如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中，E、F、G、H分别是各边的中点．

求证：中点四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

证明：∵E、F、G、H分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，

∴ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中位线，

∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ ① ）

∴ $\text{[math]}$ ．

同理可得： $\text{[math]}$ ．

∴中点四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．

(1) 请你补全上述过程中的证明依据.

(2) 【探究二】

原四边形对角线关系	中点四边形形状
不相等、不垂直	平行四边形
$\text{[math]}$	菱形

从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．

下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．

(3)

【探究三】

原四边形对角线关系	中点四边形形状
不相等、不垂直	平行四边形
$\text{[math]}$	②

从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是．

(4) 下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．

(5) 【归纳总结】
请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．

原四边形对角线关系	中点四边形形状
③	④

结论：原四边形对角线时，中点四边形是．

实践探究题普通

3. 图①、图②均是 $\text{[math]}$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1 ，小正方形的顶点称为格点. 用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上.

(1) 在图①中，以线段 $\text{[math]}$ 为一边，画一个矩形.[

(2) 在图②中，以点 $\text{[math]}$ 为顶点，画一个面积最大的正方形。

作图题普通

1. 下列命题，其中是真命题的是（）

A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形

单选题普通

2. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ 上的动点．下列四种说法：

①存在无数个平行四边形 $\text{[math]}$ ；
②存在无数个矩形 $\text{[math]}$ ；
③存在无数个菱形 $\text{[math]}$ ；
④存在无数个正方形 $\text{[math]}$ ．其中正确的个数是（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

单选题普通

3. 下列命题，其中是真命题的为（）

A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形

单选题容易