如图，抛物线经过，，三点，D为直线上方抛物线上一动点，过点D作轴于点Q，与相交于点M．于E．

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点，D为直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一动点，过点D作 $\text{[math]}$ 轴于点Q， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点M． $\text{[math]}$ 于E．

(1) 求抛物线的函数表达式；

(2) 求线段 $\text{[math]}$ 长度的最大值；

(3) 连接 $\text{[math]}$ ，是否存在点D，使得 $\text{[math]}$ 中有一个角与 $\text{[math]}$ 相等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

二次函数的最值; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-几何问题;

【答案】

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解答题普通

1. 【生活情境】

为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长 $\text{[math]}$ ，宽 $\text{[math]}$ 的矩形水池 $\text{[math]}$ 进行加长改造（如图1，改造后的水池 $\text{[math]}$ 仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩形水池 $\text{[math]}$ （如图2，以下简称水池2）．

【建立模型】

如果设水池1的边 $\text{[math]}$ 加长长度 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，加长后水池1的总面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 关于x的函数解析式为： $\text{[math]}$ ；设水池2的边 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 关于x的函数解析式为： $\text{[math]}$ ，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图3．

【问题解决】

(1) 求 $\text{[math]}$ 关于x的函数解析式；

(2) 在 $\text{[math]}$ 范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；

(3) 假设水池 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ ，其他条件不变(这个加长改造后的新水池简称水池3)，则水池3的总面积， $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式为： $\text{[math]}$ ，若水池3与水池2的面积相等时， $\text{[math]}$ 有唯一值，求b的值．

解答题普通

2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为对角线作矩形 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 轴．

(1) 求抛物线所对应的函数表达式；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求抛物线在矩形 $\text{[math]}$ 内部的图象（包含边界）的最大值与最小值的差；

(3) 当抛物线与矩形 $\text{[math]}$ 的边恰好有4个交点时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(4) 当点 $\text{[math]}$ 在抛物线对称轴左侧时，若矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 与抛物线交于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合），连结 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与坐标轴恰好有一个交点时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

3. 已知，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中 $\text{[math]}$ ．

(1) 求a，b的值；

(2) 如图1，连接AB，点P是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一动点，过点P作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于点K，过点K作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为点E，求 $\text{[math]}$ 的最大值并求出此时点P的坐标；

(3) 如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连接 $\text{[math]}$ ，将该抛物线向右平移，使得新抛物线y^'恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

解答题困难