阅读与解答在计算两位数乘法时，会遇到像 67×63、25×25 这样“十位数相同，个位数相加为10”“首同尾十”的特殊算式：像 47×67、53×53 这样“首十尾同”的特殊算式。你能发现规律直接写出得数吗？为什么可以这样算？我们一起来研究吧！特殊乘法算式的速算阅读观察发现推理验证运用规律82×88=（）6×（）4=5624解答一推理验证总结规律解答二研究发现总结规律请用以上的研究方法进一步探究像 47×67 这样“首十尾同”的算式将你的推理过程写在草稿纸上，将发现的规律总结如下：

1. 小明想探究自然数的立方和 $\text{[math]}$ （其中n为自然数）的推导方法，查阅资料后，想到一个方法，把这个代数问题转化为几何问题，具体如下： $\text{[math]}$ 对应图①中边长为1的小正方形个数； $\text{[math]}$ 对应图②中边长为1的小正方形的个数； $\text{[math]}$ 对应图③中边长为1的小正方形个数. 小明发现，图①、图②、图③恰好可以拼成一个边长为6的正方形，从而得到 $\text{[math]}$ .

….

图① 图② 图③

(1) ①请你顺着小明的研究思路在网格图中画出 $\text{[math]}$ 对应的小正方形个数的摆放图形；

②把这4个图形拼成一个正方形，则这个正方形的边长为_▲__；

(2) 根据小明的发现，请直接写出 $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的式子表式）；

(3) 请根据第（2）问的规律求 $\text{[math]}$ 的值.

解决问题普通

2. 根据下面四个算式，能否发现规律，然后在括号中填入适当的数．

1×5＋4=9=3×3

2×6＋4=16=4×4

3×7＋4=25=5×5

4×8＋4=36=6×6

10×（）＋4=（）=（）×（）

（）×（）＋4=（）=（）×100

请根据上面的规律填空．

（）×（）＋4=（）=（）×（）

解决问题普通

3. 下面给出几个十位数相同、个位数相加等于10的两位数乘法算式：

11×19=209 22×28=616 33×37=1221 45×45=2025

你能发现乘积与因数的关系吗？请根据这个规律试着直接写出下面几个算式乘积，再用笔算验算一下．

51×59= 63×67= 72×78=

84×86= 95×95= 91×99=

解决问题普通

1. 先观察，再根据规律把算式填完整

2²﹣1²＝3 3²﹣2²＝5 4²﹣3²＝7

6²﹣＝ ﹣99²＝

填空题普通

2. 3+12，6+14，12+16，24+18，……是按一定的规律排列的一串算式，第10个算式的计算结果是。

填空题困难

3. 不用计算，你能直接写出999999×999996的积吗？如果不能，可以从以下几个简单算式开始寻找规律，再根据规律填入结果。

9×6＝54

99×96＝9504

999×996＝995004

9999×9996＝99950004

99999×99996＝

999999×999996＝

填空题普通

1. 如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。

(1) 探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。

(2) 总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是。

(3) 应用：像这样如果剪切20次，会分成段。

解决问题困难

2.

(1) 先计算下面各题，然后找规律。

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

(2) 应用规律，计算下题。(写出计算过程)

$\text{[math]}$

计算题困难

3. 18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题。

(1) 根据上面的多面体模型，完成表格中的空格：

多面体	顶点数（V）	面数（F）	棱数（E）
四面体		4	6
长方体	8	6	12
正八面体	6	8	12
正十二面体	20	12

你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是。

(2) 一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，求这个多面体的面数。

(3) 已知某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和六边形两种多边形拼接而成，且有 18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体外表面三角形的个数为m个，六边形的个数为n个，求 $\text{[math]}$ 的值。

(4) 在（3）的情况下，又已知 $\text{[math]}$ 求代数式 $\text{[math]}$ 的值。

(5) 模型应用

有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，利用欧拉公式分别求出正五边形、正六边形个数。

解决问题困难

1. 1+3＝4＝2² ， 1+3+5＝9＝3² ， 1+3+5+7＝16＝4² ， …1+3+5+…+（2n﹣1）＝2013² ，则n＝。

填空题普通

2. 先观察三组等式，再根据规律把等式填写完整。

1×3+1＝2²

2×4+1＝3²

3×5+1＝4²

……

×+1＝2022²

n×（n+2）+1＝²（n为自然数）

填空题普通

3. 计算下列各题，能简便的要简算。

①1.25×（30.1﹣24.91÷4.7）

②[ $\text{[math]}$ ﹣（ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ）]÷ $\text{[math]}$

③15.6×13.1﹣15.6﹣15.6×2.1

④2 $\text{[math]}$ ×23.4+11.1×57.6+6.54×28

⑤1234+2341+3412+4123

⑥ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$

计算题普通

阅读	观察发现
	推理验证
	运用规律	82×88=（）6×（）4=5624
解答一	推理验证
解答一	总结规律
解答二	研究发现总结规律	请用以上的研究方法进一步探究像 47×67 这样“首十尾同”的算式将你的推理过程写在草稿纸上，将发现的规律总结如下：