图1是即将建造的“碗形”景观池的模拟图，设计师将它的外轮廓设计成如图2所示的图形．它是由线段，线段，曲线，曲线围成的封闭图形，且，在x轴上，曲线与曲线关于y轴对称．已知曲线是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为：（p 为常数，）．

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1. 图1是即将建造的“碗形”景观池的模拟图，设计师将它的外轮廓设计成如图2所示的图形．它是由线段 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 围成的封闭图形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在x轴上，曲线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 关于y轴对称．已知曲线 $\text{[math]}$ 是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为： $\text{[math]}$ （p 为常数， $\text{[math]}$ ）．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 的函数解析式．

(2) 如图3，用三段塑料管 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 围成一个一边靠岸的矩形荷花种植区，E，F分别在曲线 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 上，G，H在x轴上．

$\text{[math]}$ 记 $\text{[math]}$ 米时所需的塑料管总长度为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米时所需的塑料管总长度为 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求p的取值范围．

$\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的差为多少时，三段塑料管总长度最大？请你求出三段塑料管总长度的最大值．

【考点】

二次函数的最值; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-几何问题;

【答案】

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综合题普通

1. 为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图①是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线 $\text{[math]}$ 和矩形 $\text{[math]}$ 构成．已知矩形的长 $\text{[math]}$ 米，宽 $\text{[math]}$ 米，抛物线最高点E到地面 $\text{[math]}$ 的距离为8米．

(1) 按图①所示建立平面直角坐标系，求抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式；

(2) 冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y轴对称的支撑柱 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，如图②所示．

①若两根支撑柱的高度均为 $\text{[math]}$ 米，求两根支撑柱之间的水平距离；

②为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁 $\text{[math]}$ ，搭建成一个矩形“脚手架” $\text{[math]}$ ，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆 $\text{[math]}$ 的长度之和w的最大值，请你帮管理处计算一下．

综合题普通

2. 某家禽养殖场，用总长为 $\text{[math]}$ 的围栏靠墙（墙长为 $\text{[math]}$ ）围成如图所示的三块矩形区域，矩形 $\text{[math]}$ 与矩形 $\text{[math]}$ 面积相等，矩形 $\text{[math]}$ 面积等于矩形 $\text{[math]}$ 面积的二分之一，设 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ ，矩形区域 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 有最大值？最大值是多少？

(3) 现需要在矩形 $\text{[math]}$ 和矩形 $\text{[math]}$ 区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

综合题普通

3. 某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：

如何设计纸盒？

选择“素材1”“素材2”设计了实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题．

素材1	利用一边长为 $\text{[math]}$ 的正方形纸板可以设计成如图所示的无盖纸盒．
素材2	如图，在正方形硬纸板的四角处各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．

设折成的无盖纸盒的侧面积为S，剪掉的小正方形的边长为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求S与 $\text{[math]}$ 之间的函数表达式；

(2) 折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，请说明理由．

综合题普通