某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：如何设计纸盒？选择“素材1”“素材2”设计了实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题．素材1利用一边长为的正方形纸板可以设计成如图所示的无盖纸盒．素材2如图，在正方形硬纸板的四角处各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．设折成的无盖纸盒的侧面积为S，剪掉的小正方形的边长为．

1. 某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：

如何设计纸盒？

选择“素材1”“素材2”设计了实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题．

素材1	利用一边长为 $\text{[math]}$ 的正方形纸板可以设计成如图所示的无盖纸盒．
素材2	如图，在正方形硬纸板的四角处各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．

设折成的无盖纸盒的侧面积为S，剪掉的小正方形的边长为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求S与 $\text{[math]}$ 之间的函数表达式；

(2) 折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，请说明理由．

【考点】

二次函数的最值; 二次函数的实际应用-几何问题;

【答案】

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综合题普通

1. 某家禽养殖场，用总长为 $\text{[math]}$ 的围栏靠墙（墙长为 $\text{[math]}$ ）围成如图所示的三块矩形区域，矩形 $\text{[math]}$ 与矩形 $\text{[math]}$ 面积相等，矩形 $\text{[math]}$ 面积等于矩形 $\text{[math]}$ 面积的二分之一，设 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ ，矩形区域 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 有最大值？最大值是多少？

(3) 现需要在矩形 $\text{[math]}$ 和矩形 $\text{[math]}$ 区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

综合题普通

2. 如图1是即将建造的“碗形”景观池的模拟图，设计师将它的外轮廓设计成如图2所示的图形．它是由线段 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 围成的封闭图形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在x轴上，曲线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 关于y轴对称．已知曲线 $\text{[math]}$ 是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为： $\text{[math]}$ (p为常数， $\text{[math]}$ )，现用三段塑料管 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 围成一个一边靠岸的矩形荷花种植区(如图3)，E，F分别在曲线 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 上，G，H在x轴上．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，

①求曲线 $\text{[math]}$ 的函数解析式．

②当 $\text{[math]}$ 米时，求三段塑料管的长度之和．

(2) 当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的差为多少时，三段塑料管总长度最大？请你求出三段塑料管总长度的最大值．

综合题普通

3. 某养殖户准备围建一个矩形鸡舍，其中一边靠墙 $\text{[math]}$ ，另外的边（虚线部分）用长为28米的篱笆围成，并将矩形鸡舍分成两个相同的房间，每个房间并各留出宽1米的门方便进出．已知墙的长度为12米，设这个鸡舍垂直于墙的一边的长为x米，鸡舍的面积为S．

(1) 求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2) 求出鸡舍的面积S的最大值，此时x为多少米？

综合题普通