如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短．

填空题容易

3. 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点E，交对角线 $\text{[math]}$ 于点P，过点P作 $\text{[math]}$ 于点F．若 $\text{[math]}$ ，则菱形 $\text{[math]}$ 的面积为．

填空题容易

1. 小贤家有一个中国结挂饰，他想求两对边间的距离，利用所学知识抽象出菱形 $\text{[math]}$ （如图所示），测得 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交两对边于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ．

填空题普通

2. 如图，菱形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为cm.

填空题普通

3. 如图1是清代方胜纹暗花缎袄，如图2是缎袄上面方胜纹示意图，菱形 $\text{[math]}$ 与菱形 $\text{[math]}$ 是完全相同的两个菱形，中间四边形 $\text{[math]}$ 也是菱形， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点M ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则菱形 $\text{[math]}$ 的周长为．

填空题普通

1. 如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形 $\text{[math]}$ 是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变 $\text{[math]}$ 的长来调节 $\text{[math]}$ 的长 $\text{[math]}$ 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的初始长为 $\text{[math]}$ ，如果要使 $\text{[math]}$ 的长达到 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的长需要缩短( )

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

2. 若菱形的周长为 20 ，它的一条对角线长 6 ，则菱形的另一条对角线长为（）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

单选题容易

3. 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ ．若菱形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A. $\text{[math]}$ B. 3 C. $\text{[math]}$ D. 5

单选题普通

1. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 求直线 $\text{[math]}$ 的解析式；

(2) 如图2，若点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的一动点，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 将直线 $\text{[math]}$ 向右平移3个单位长度得到直线 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 为平移后直线 $\text{[math]}$ 上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 $\text{[math]}$ ，使以点 $\text{[math]}$ 为顶点， $\text{[math]}$ 为边的四边形为菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

计算题困难

2. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 和四边形 $\text{[math]}$ 均为菱形，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 问题引入：如图①，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的两点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

① $\text{[math]}$ 的度数为______ $\text{[math]}$ ．

② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系为______．

(2) 拓展探究：将图①中的菱形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到图②，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ ，试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并求出 $\text{[math]}$ 的度数．

(3) 问题解决：将图①中的菱形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到图③，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的长为______．

解答题困难

3. 综合与实践

在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．

【操作探究】

“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：

第 $\text{[math]}$ 步：如图 $\text{[math]}$ 所示，先将正方形纸片 $\text{[math]}$ 对折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，然后展开铺平，折痕为 $\text{[math]}$ ；

第 $\text{[math]}$ 步：将 $\text{[math]}$ 边沿 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 的位置；

第 $\text{[math]}$ 步：延长 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 边的三等分点．

证明过程如下：连接 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 正方形 $\text{[math]}$ 折叠，

$\text{[math]}$ ▲ ，

又 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ．

由题意可知 $\text{[math]}$ 的中点，设 $\text{[math]}$ 个单位 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，

在 $\text{[math]}$ 中，可列方程： $\text{[math]}$ ▲ ， $\text{[math]}$ 方程不要求化简 $\text{[math]}$

解得： $\text{[math]}$ ▲ ，即 $\text{[math]}$ 边的三等分点．

“破浪”小组是这样操作的：

第 $\text{[math]}$ 步：如图 $\text{[math]}$ 所示，先将正方形纸片对折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，然后展开铺平，折痕为 $\text{[math]}$ ；

第 $\text{[math]}$ 步：再将正方形纸片对折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，再展开铺平，折痕为 $\text{[math]}$ ，沿 $\text{[math]}$ 翻折得折痕 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；

第 $\text{[math]}$ 步：过点 $\text{[math]}$ 折叠正方形纸片 $\text{[math]}$ ，使折痕 $\text{[math]}$ ．

【过程思考】

(1) “乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是

$\text{[math]}$ ：， $\text{[math]}$ ：， $\text{[math]}$ ：；

(2) 结合“破浪”小组操作过程，判断点 $\text{[math]}$ 是否为 $\text{[math]}$ 边的三等分点，并证明你的结论；

(3) 【拓展提升】

如图 $\text{[math]}$ ，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 上的一个三等分点，记点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 与菱形 $\text{[math]}$ 的边交于点 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．