一个多位正整数，将其首两位截去，若余下的数与这个首两位数的和能被11整除，则我们称这样的数为“双十一数”，如1221，截去首两位12，余下的数为21，21与12的和为33，能被11整除，则1221是“双十一数”

1.一个多位正整数，将其首两位截去，若余下的数与这个首两位数的和能被11整除，则我们称这样的数为“双十一数”，如1221，截去首两位12，余下的数为21，21与12的和为33，能被11整除，则1221是“双十一数”

(1) 判断56736（“是”或“不是”）“双十一数”；

(2) 求证：将任意一个“双十一数”的首两位数与氽下的数交换得到一个新数，该新数一定能被11整除；

(3) 一个各位数字均不为0的三位正整数 $\text{[math]}$ ，将其各位上的数字重新排列得到新三位数 $\text{[math]}$ ，在所有重新排列的数中，当 $\text{[math]}$ 最大时，我们称此时的三位数为 $\text{[math]}$ 的“自恋数”，并规定 $\text{[math]}$ .比如123，重新排列可得132，213，231，312，321，

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ，所以231是123的“自恋数”，则

$\text{[math]}$ .若一个三位“双十一数”t的十位数字与个位数字之和是5，且十位数字小于个位数字，求所有“双十一数”中 $\text{[math]}$ 的最大值。

【考点】

定义新运算;

【答案】

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解决问题未知普通

1.某种数字化的信息传输中，先将信息转化为数学0和1组成的数字串，并对数字串进行了加密后再传输．现采用一种简单的加密方法：将原有的每个1都变成10，原有的每个0变成01．我们用 $\text{[math]}$ 表示没有经过加密的数字串，这样对 $\text{[math]}$ 进行一次加密就得到一个新的数字串 $\text{[math]}$ ，对 $\text{[math]}$ 再进行一次加密又得到一个新的数字串 $\text{[math]}$ ， …，依此类推．例如： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．若已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若数字串 $\text{[math]}$ 共有4个数字，则数字串 $\text{[math]}$ 中相邻两个数相等的数对至少有对。

解决问题未知普通

2.在比例尺为1：6000000的地图上，量得两地间的铁路长10cm。甲、乙两列火车同时从两地相对开出，3小时相遇。已知甲、乙两列火车行驶的路程比为11：9。

(1) 两地间铁路的实际长度为多少千米？

(2) 甲车每小时行驶多少千米？

解决问题未知困难

3.一辆汽车往线路上运送电线杆，从出发点装车，每次拉4根，线路上每两根电线杆间的距离为50米，共运了两次。装卸结束后返回原地共用了3小时，其中装一次车用30分钟，根电线杆用5分钟，汽车运行时的平均速度是每小时24千米，则从出发点到第一根电线杆的距离是多少千米？

解决问题未知困难