①;②;③;④.
则方程可变形为 , 展开得②,
比较①②可以得到
这表明,任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.
事实上,与二次方程类似,一元三次方程也有韦达定理.
设方程有三个根 , 则有③
(i)求证:的其中一个零点大于0,另一个零点大于且小于0;
(ii)求的取值范围.
(Ⅰ)若f(x)在x=x1 , x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8−8ln2;
(Ⅱ)若a≤3−4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程;
(Ⅱ)令h(x)=g (x)﹣a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.