已知函数为对数函数，并且它的图象经过点，函数在区间上的最小值为，其中.

1. 已知函数 $\text{[math]}$ 为对数函数，并且它的图象经过点 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的解析式；

(2) 求函数 $\text{[math]}$ 的最小值 $\text{[math]}$ 的表达式；

(3) 是否存在实数 $\text{[math]}$ 同时满足以下条件：① $\text{[math]}$ ；②当 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ 时，值域为 $\text{[math]}$ .若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由.

【考点】

函数的单调性与导数正负的关系; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数最大（小）值; 导数的概念;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的最小值；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 存在两个不同的零点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题普通

2. 新冠肺炎疫情发生后，政府为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额 $\text{[math]}$ （万元）在 $\text{[math]}$ 的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：①补助款 $\text{[math]}$ （万元）随企业原纳税额 $\text{[math]}$ （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额的 $\text{[math]}$ .经测算政府决定采用函数模型 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为参数）作为补助款发放方案.

(1) 当使用参数 $\text{[math]}$ 是否满足条件，并说明理由；

(2) 求同时满足条件①②的参数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题普通

3. 已知 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（Ⅱ）若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值为 $\text{[math]}$ ，最小值为 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的解析式及其最小值（注： $\text{[math]}$ 为自然对数的底数）．

解答题困难