设实系数一元二次方程①，有两根，则方程可变形为，展开得②，比较①②可以得到这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.设方程有三个根，则有③

1. 设实系数一元二次方程 $\text{[math]}$ ①，有两根 $\text{[math]}$ ，

则方程可变形为 $\text{[math]}$ ，展开得 $\text{[math]}$ ②，

比较①②可以得到 $\text{[math]}$

这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.

事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.

设方程 $\text{[math]}$ 有三个根 $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ ③

(1) 证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；

(2) 已知函数 $\text{[math]}$ 恰有两个零点.

（i）求证： $\text{[math]}$ 的其中一个零点大于0，另一个零点大于 $\text{[math]}$ 且小于0；

（ii）求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

【考点】

函数的单调性与导数正负的关系; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数最大（小）值; 一元二次方程的根与系数的关系;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 求证：函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上为单调递增函数；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值在区间 $\text{[math]}$ 内，求整数 $\text{[math]}$ 的值.

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；

（2）若函数 $\text{[math]}$ 仅在 $\text{[math]}$ 处有极值，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（3）若对于任意的 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ 在R上单调递减，求a的取值范围；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，请说明理由．

解答题普通