已知函数.

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 若 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

【考点】

导数的几何意义; 函数的单调性与导数正负的关系; 利用导数研究函数的单调性; 不等式的证明;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ， a∈R．

（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

解答题普通

2. 我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为 $\text{[math]}$ .幂指函数在求导时，可以将函数“指数化”再求导.例如，对于幂指函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

(2) 若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，研究函数 $\text{[math]}$ 的单调性；

(3) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均大于0，且 $\text{[math]}$ ，讨论 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小关系.

解答题困难

3. 设函数 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的单调区间.

(2) 求证： $\text{[math]}$ 不经过点 $\text{[math]}$ .

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，设点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分别表示 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积．是否存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 成立？若存在，这样的点 $\text{[math]}$ 有几个？

（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

解答题困难