已知函数，其中是自然对数的底数．

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数．

(1) 讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，设关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立时 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数最大（小）值;

【答案】

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解答题困难

1. 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有定义，且对于任意不同的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的“ $\text{[math]}$ 类函数”.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 是否为 $\text{[math]}$ 上的“3类函数”；

(2) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的“2类函数”，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的“2类函数”，且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ 的最小值为0，求a；

(2) 设函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是增函数，求a的取值范围．

解答题普通

3. 若函数 $\text{[math]}$ 在定义域内存在两个不同的数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，同时满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 处的切线斜率相同，则称 $\text{[math]}$ 为“切合函数”.

(1) 证明： $\text{[math]}$ 为“切合函数”；

(2) 若 $\text{[math]}$ 为“切合函数”（其中 $\text{[math]}$ 为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（ⅰ）求证： $\text{[math]}$ ；

（ⅱ）求证： $\text{[math]}$ .

解答题困难