已知：为锐角三角形，．求作：菱形．作法：如图，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线与交于点；以点为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点，连接，；四边形就是所求作的菱形．

1. 已知： $\text{[math]}$ 为锐角三角形， $\text{[math]}$ ．

求作：菱形 $\text{[math]}$ ．

作法：如图，

$\text{[math]}$ 以点 $\text{[math]}$ 为圆心，适当长为半径作弧，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ 分别以点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧在 $\text{[math]}$ 的内部相交于点 $\text{[math]}$ ，作射线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ 以点 $\text{[math]}$ 为圆心，以 $\text{[math]}$ 长为半径作弧，与射线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；四边形 $\text{[math]}$ 就是所求作的菱形．

(1) 使用直尺和圆规，依作法补全图形 $\text{[math]}$ 保留作图痕迹 $\text{[math]}$ ；

(2) 完成下面的证明．

证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ▲ ．

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是菱形 $\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ 填推理的依据 $\text{[math]}$ ．

【考点】

菱形的判定; 尺规作图-作角的平分线;

【答案】

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作图题普通

1. 如图， $\text{[math]}$ ， CB平分∠ABD ．

(1) 用尺规作图完成以下基本作图：作DE平分∠BDC ，分别交AB ， BC于点E ， O ．连接CE；（保留作图痕迹，不写作法和结论．）

(2) 根据（1）中作图，证明四边形BDCE是菱形，请你补全证明过程．证明：∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ．

又∵CB平分∠ABD ，

∴① ▲ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴② ▲ ，

同理： $\text{[math]}$

∴③ ▲ ，

又∵ $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ，

∴四边形BDCE是平行四边形．

∴四边形BDCE是菱形．（④ ）．

作图题普通

2. 如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地．现准备在其中建一小亭供人们休息，要求小亭中心P到三条马路的距离相等，请确定小亭中心P的位置．（尺规作图：不写作法，要求保留作图痕迹）

作图题普通

3. 请用无刻度直尺按下列要求作图．

(1) 如图1，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，①如图1，当点 $\text{[math]}$ 在圆上时，作 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ：②如图2，当点 $\text{[math]}$ 不在圆上时，作 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ．

(2) 如图3，矩形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的中点，作 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ．（点 $\text{[math]}$ 均在 $\text{[math]}$ 上）

作图题普通