观察下列各式及其验算过程：验证：验证：按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；针对上述各式反映的规律，写出用（为任意自然数，且）表示的等式，并给出证明．

1. 观察下列各式及其验算过程：

$\text{[math]}$

验证： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

验证： $\text{[math]}$

按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 $\text{[math]}$ 的变形结果并进行验证；

针对上述各式反映的规律，写出用 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为任意自然数，且 $\text{[math]}$ ）表示的等式，并给出证明．

【考点】

探索数与式的规律;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，1~5号正方形边长分别为1，2，3，4，5，可得出以下规律：

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

……

根据以上规律，解答下列问题：

(1) $\text{[math]}$

(2) $\text{[math]}$ （用含n的式子表示，需化简）

(3) 求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

2. “杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图1．

(1) 求图1中第8行第5个数是__________；

(2) 求图1中前100行所有的数字之和；

(3) “杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

3. 观察下列等式：

$\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$

(1) 写出 $\text{[math]}$ ；

(2) 猜想： $\text{[math]}$ ；

(3) 由以上规律，计算 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难