如图，和中，点D在上，，，，交的延长线于点F．

1. 如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中，点D在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 请直接写出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系；

(3) 求证： $\text{[math]}$ ．

【考点】

全等三角形的应用;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 的正方形网格中，A，B，C点均是格点，仅用无刻度直尺，分别按要求作图．

(1) 在图1中过点C作出直线AB的垂线CE；

(2) 在图2中标出格点D，作一条射线AD，使得 $\text{[math]}$ ．

综合题困难

2. 某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A ， B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：

甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A ， B的点C ，再连接AC ， BC ，并分别延长AC至D ， BC至E ，使DC＝AC ， EC＝BC ，最后测出DE的长即为A ， B的距离．

乙：如图②，先过点B作AB的垂线，再在垂线上取C ， D两点，使BC＝CD ，接着过点D作BD的垂线DE ，交AC的延长线于点E ，则测出DE的长即为A ， B的距离．

丙：如图③，过点B作BD⊥AB ，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C ，使∠BDC＝∠BDA ，这时只要测出BC的长即为A ， B的距离．

(1) 以上三位同学所设计的方案，可行的有；

(2) 请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．

综合题普通

3. 在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成。在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形。通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下探究：

(1) 如图1、两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC ， AE=AD ， ∠BAC=∠DAE ，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是，此线BD和CE的数量关系是。

(2) 如图2、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC ， AE=AD ， ∠BAC=∠DAE=90°，连接BD ， CE ，两线交于点P ，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由：

(3) 如图3，已知△ABC、请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE(等边三角形三条边相等，三个角都等于60°)，连接BE ， CD ，两线交于点P ，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数、

综合题困难