在矩形中，， E是的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边与、分别相交于点M，N时，观察或测量与的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论.

1. 如图1，点A(a，b)在平面直角坐标系xOy中，点A到坐标轴的垂线段AB，AC与坐标轴围成矩形OBAC，当这个矩形的一组邻边长的和与积相等时，点A称作“垂点”，矩形称作“垂点矩形”.

(1)在点P(1，2)，Q(2，－2)，N( $\text{[math]}$ ，－1)中，是“垂点”的点为；

(2)点M(－4，m)是第三象限的“垂点”，直接写出m的值；

(3)如果“垂点矩形”的面积是 $\text{[math]}$ ，且“垂点”位于第二象限，写出满足条件的“垂点”的坐标；

(4)如图2，平面直角坐标系的原点O是正方形DEFG的对角线的交点，当正方形DEFG的边上存在“垂点”时，GE的最小值为 .

解答题困难

2. 如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=12cm.点P在边 AD 上以每秒1cm的速度从点 A 向点D运动，点Q在边BC 上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两点同时出发，当点P到达点 D 时停止，求经过多长时间，四边形ABQP为矩形?

解答题困难

3. $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ________（“相等”或“不相等”）．

$\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，将边长为 $\text{[math]}$ 的正方形纸片 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使得点 $\text{[math]}$ 落到边 $\text{[math]}$ 上．若 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长度．

解答题普通

1. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为2，E为 $\text{[math]}$ 边的中点，点F在 $\text{[math]}$ 边上，点B关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点记为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．当点F在 $\text{[math]}$ 边上移动使得四边形 $\text{[math]}$ 成为正方形时， $\text{[math]}$ 的长为．

填空题普通

2. 如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为．

填空题普通

3. 如图，已知平行四边形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ ，则平行四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．

填空题普通

1. 综合与探究：如图， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的平分线上， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 【操作判断】

如图①，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，根据题意在图①中画出 $\text{[math]}$ ，图中 $\text{[math]}$ 的度数为度；

(2) 【问题探究】

如图②，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 【拓展延伸】

点 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题困难

2. 如图，已知 $\text{[math]}$ ，点A是射线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，动点P从点A出发，以 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 水平向左运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 竖直向上运动，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为斜边向上作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，设运动时间为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等时，求t的值；

(2) 四边形 $\text{[math]}$ 的面积为　　．

解答题普通

3. 综合与实践

数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片ABCD对折，使得点A、D重合，点B、C重合，折痕为EF ，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N ，折痕为BM ．

(1) 如图①，若AB＝BC ，则当点N落在EF上时，BF和BN的数量关系是；∠NBF的度数为；

(2) 思考探究：

在AB＝BC的条件下进一步进行探究，将△BMN沿BN所在的直线折叠，点M的对应点为点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 落在CD上时，如图②，设BN、 $\text{[math]}$ 分别交EF于点J、K ，若 $\text{[math]}$ ，请求出三角形BJK的面积；